Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于E．
（1）如圖1，連接AE，求△AED的面積．
（2）如圖2，設(shè)P為BE上（異于B、E兩點(diǎn)）的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、CP，請(qǐng)判斷四邊形APCD的面積與正方形ABCD的面積有怎樣的大小關(guān)系？并說明理由．
（3）如圖3，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，過P作PF⊥BC交AC于F，將正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，其折線MN與PF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，以正方形的BC、BA為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）因?yàn)锽E∥AC，AB∥CD，
所以四邊形ABEC是平行四邊形，
所以CE=AB=4，
所以△AED的面積為×4×（4×2）=16；

（2）四邊形APCD的面積與正方形ABCD的面積相等，
因?yàn)锽E∥AC，所以△APC的面積與△ABC的面積相等，
所以△APC的面積+△ACD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積=正方形ABCD的面積；

（3）點(diǎn)F在AC上，且PF⊥X軸，故可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m+4），
已知D的坐標(biāo)為（4，4），故FD所在直線的斜率K_FD=-，
折痕MN⊥FD，故MN所在直線的斜率K_MN=，
FD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，）．
故折痕MN所在直線的方程為：
y=[（m-4）÷m][x-（m+4）÷2]+（-m+8）÷2
令x=m，代入上式，即得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)：
y=[（m-4）÷m][m-（m+4）÷2]+（-m+8）÷2
=（m-4）²÷（2m）-（m-8）÷2=[（m-4）²-m（m-8）]÷（2m）=
將m改為x，即得點(diǎn)Q的坐標(biāo)（x，y）之間的關(guān)系為：y=．
分析：（1）求證四邊形ABEC是平行四邊形，得出CE=AB，然后可求出△AEC的面積．
（2）求證△APC的面積與△ABC的面積相等，然后可推出四邊形APCD的面積與正方形ABCD的面積相等．
（3）點(diǎn)F在AC上，且PF⊥X軸，故可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m+4）．已知D的坐標(biāo)為（4，4），故可求得FD所在直線的斜率K_FD．折痕MN⊥FD，故MN所在直線的斜率K_MN•K_FD=-1．可求得FD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，）．進(jìn)而求得故折痕MN所在直線的方程
令x=m，代入MN所在直線的方程，即得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)從而確定y與x的關(guān)系式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)，考生應(yīng)注意現(xiàn)實(shí)生活的問題與圖象相結(jié)合空間想象解答問題．