如圖1,點A是線段BC上一點,△ABD和△ACE都是等邊三角形.
(1)連結(jié)BE,CD,求證:BE=CD;
(2)如圖2,將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′.
①當旋轉(zhuǎn)角為多少度時,邊AD′落在AE上;
②在①的條件下,延長DD’交CE于點P,連接BD′,CD′.當線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時,BD′與CD′相等?并給予證明.
(1)詳見解析;(2)①旋轉(zhuǎn)角為60°;②當AC=2AB時,BD′=CD′,證明詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)容易證明⊿ABE≌⊿ADC,從而得證.(2)①由已知條件得∠BAD=60°,∠CAE=60°,所以∠DAE=60°,所以當AD′落在AE上時,旋轉(zhuǎn)角為60°.②若BD′=CD′,則必有∠D′BC=∠D′CB,又因為AB=AD′,所以有∠ABD′=∠EAC=30°,所以有∠ACD′=30°,從而發(fā)現(xiàn)AB=AC.證明的過程和上面分析的過程剛好相反,把AB=AC當作條件,利用等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證明.
試題解析:(1)證明:∵△ABD和△ACE都是等邊三角形.
∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,
即∠BAE=∠DAC,
在△BAE和△DAC中,
,
∴△BAE≌△DAC(SAS),
∴BE=CD; 4分
(2)解:①∵∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠DAE=180°﹣60°×2=60°,
∵邊AD′落在AE上,
∴旋轉(zhuǎn)角=∠DAE=60°; 7分
②當AC=2AB時,BD′=CD′.
理由如下:由旋轉(zhuǎn)可知,AB′與AD重合,
∴AB=BD=DD′=AD′
∴四邊形ABDD′是菱形,
∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°
∵△ACE是等邊三角形,
∴AC=AE,∠ACE=60°,
∵AC=2AB,
∴AE=2AD′,
∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°,
∠ABD′=∠ACD′
∴BD′=CD′ 11分
考點:1、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);2、等邊三角形的性質(zhì);3、全等三角形的判定.
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