Question

如圖，在⊙O中，BC為⊙O的弦，點(diǎn)A在⊙O內(nèi)（點(diǎn)O、A在弦BC的同一側(cè)），連接OA、AB，若OA=8，AB=12，∠OAB=∠ABC=60°，則弦BC的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形

專(zhuān)題：

分析：作OD⊥AB，OE⊥BC分別于點(diǎn)D、E，連接OB．作OF∥BC交AB于點(diǎn)F，作FG⊥BC于點(diǎn)G，在直角△AOD中利用三角函數(shù)求得OD、AD的長(zhǎng)，則BD的長(zhǎng)即可求解，根據(jù)勾股定理即可求得半徑，在直角△BFG中，利用三角函數(shù)求得FG的長(zhǎng)，即OE的長(zhǎng)，然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解．

解答：解：作OD⊥AB，OE⊥BC分別于點(diǎn)D、E，連接OB．作OF∥BC交AB于點(diǎn)F，作FG⊥BC于點(diǎn)G．
則∠AFO=∠ABC=60°，
∴△AOF是等邊三角形，
∴AF=OA=8，
則BF=12-8=4，
在直角△BFG中，F(xiàn)G=BF•sin∠ABC=BF•sin60°=2

3

，則OE=FG=2，
在直角△AOD中，AD=OA•cos∠OAB=8×

1

2

=4，OD=OA•sin∠OAB=8×

3

2

=4

3

，
則BD=AB-AD=12-4=8，
則在直角△OBD中，OB=

OD2+BD2

=

112

，
在直角△OBE中，BE=

OB2-OE2

=10，
∵OE⊥BC，
BC=2BE=20．
故答案為：20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定好性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及三角函數(shù)的應(yīng)用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．