Question

如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上的一點，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點E、A在直線DC的同側(cè)，連結(jié)AE．
（1）求證：AE∥BC；
（2）當AD=AE時，求∠BCE的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根據(jù)SAS證△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB，根據(jù)平行線的判定推出即可．
（2）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠AED=（180°-120°）÷2=30°，然后再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠DEC=60°，最后在根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BCE的度數(shù)．

解答：（1）證明：∵△ABC和△DEC是等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CD=CE

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB，
∴AE∥BC．

（2）∵AE∥BC，
∴∠EAD+∠B=180°，
∵∠B=60°，
∴∠DAE=120°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=（180°-120°）÷2=30°．
∵∠DEC=60°，
∴∠AEC=90°，
∵AE∥BC，
∴∠BCE=180°-90°=90°．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是找出能使三角形全等的條件．