Question

如圖，射線AM平行于射線BN，AB⊥BN且AB=3，C是射線BN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC，作CD⊥AC且CD=

1

2

AC，過(guò)C作CE⊥BN交AD于點(diǎn)E，設(shè)BC長(zhǎng)為t．
（1）AC長(zhǎng)為

 

，△ACD的面積為

 

（用含有t的代數(shù)式表示）；
（2）求點(diǎn)D到射線BN的距離（用含有t的代數(shù)式表示）；
（3）是否存在點(diǎn)C，使△ACE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)BC的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥BN且AB=3，BC長(zhǎng)為t，根據(jù)勾股定理的知識(shí)，即可求得AC的長(zhǎng)，由作CD⊥AC且CD=

1

2

AC，根據(jù)三角形面的求解方法即可求得△ACD的面積；
（2）過(guò)D作DF⊥BN交BN于點(diǎn)F，由∠ABC=∠CFD=90°，∠FDC=∠ACB，即可得△DFC∽△CBA，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得點(diǎn)D到射線BN的距離；
（3）分別從①當(dāng)EC=AE時(shí)，E為AD中點(diǎn)，EC=

1

2

AD，②當(dāng)AE=AC時(shí)，AM⊥DF，③當(dāng)0≤t＜12時(shí)，∠AEC為鈍角，故AC≠CE，當(dāng)t≥12時(shí)，CE≤DF＜DC＜AC去分析求解，即可得到當(dāng)BC等于

3

2

和6+3

5

時(shí)，△ACE為等腰三角形．

解答：解：（1）∵AB⊥BN，
∴∠B=90°，
∵AB=3，BC長(zhǎng)為t，
∴AC=

AB2+BC2

=

t2+9

；
∵CD=

1

2

AC=

t2+9

2

，
∵CD⊥AC，
∴∠AD=90°，
∴△ACD的面積為：

1

2

AC•CD=

1

2

×

t2+9

2

×

t2+9

=

t2+9

4

；

（2）過(guò)D作DF⊥BN交BN于點(diǎn)F，
∵∠ABC=∠CFD=90°，∠FDC=∠ACB，
∴△DFC∽△CBA．
∴

DF

BC

=

DC

AC

=

1

2

，
∴DF=

t

2

，BC=t．
即點(diǎn)D到射線BN的距離為

t

2

；

（3）①如圖，當(dāng)E′C′=AE′時(shí)，E′為AD中點(diǎn)，E′C=

1

2

AD，
此時(shí)FC=BC，
∴t=

3

2

；
②同理，當(dāng)AE=AC時(shí)，t=6+3

5

③當(dāng)t=0時(shí)，C與B重合，CD=

1

2

AC，
可得DF=t=0，此時(shí)△AEC不能為等腰直角三角形，
當(dāng)t=12時(shí)，CE≤DF＜DC＜AC，
∴當(dāng)0≤t＜12時(shí)，∠AEC為鈍角，故AC≠CE，△ACE不能為等腰三角形；
當(dāng)t≥12時(shí)，CE≤DF＜DC＜AC，此時(shí)△ACE不能為等腰三角形，
綜上所述，當(dāng)BC=

3

2

或BC=6+3

5

時(shí)，△ACE為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．解此題的關(guān)鍵是注意分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．