在直角坐標(biāo)系中,點A是拋物線y=x2在第二象限上的點,連接OA,過點O作OB⊥OA,交拋物線于點B,以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC.
(1)如圖1,當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為。1 時,矩形AOBC是正方形;
(2)如圖2,當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為 時,
①求點B的坐標(biāo);
②將拋物線y=x2作關(guān)于x軸的軸對稱變換得到拋物線y=-x2,試判斷拋物線y=-x2經(jīng)過平移交換后,能否經(jīng)過A,B,C三點?如果可以,說出變換的過程;如果不可以,請說明理由.
考點: 二次函數(shù)綜合題。
專題: 代數(shù)幾何綜合題。www. xkb1.com
分析: (1)過點A作AD⊥x軸于點D,根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠AOC=45°,所以∠AOD=45°,從而得到△AOD是等腰直角三角形,設(shè)點A坐標(biāo)為(-a,a),然后利用點A在拋物線上,把點的坐標(biāo)代入解析式計算即可得解;
(2)①過點A作AE⊥x軸于點E,過點B作BF⊥x軸于點F,先利用拋物線解析式求出AE的長度,然后證明△AEO和△OFB相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OF與BF的關(guān)系,然后利用點B在拋物線上,設(shè)出點B的坐標(biāo)代入拋物線解析式計算即可得解;
②過點C作CG⊥BF于點G,可以證明△AEO和△BGC全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=OE,BG=AE,然后求出點C的坐標(biāo),再根據(jù)對稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過點A、B的拋物線解析式,把點C的坐標(biāo)代入所求解析式進(jìn)行驗證變換后的解析式是否經(jīng)過點C,如果經(jīng)過點C,把拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式解析式,根據(jù)頂點坐標(biāo)寫出變換過程即可.
解答: 解:(1)如圖,過點A作AD⊥x軸于點D,
∵矩形AOBC是正方形,
∴∠AOC=45°,
∴∠AOD=90°-45°=45°,
∴△AOD是等腰直角三角形,
設(shè)點A的坐標(biāo)為(-a,a)(a≠0),
則(-a)2=a,
解得a1=-1,a2=0(舍去),
∴點A的坐標(biāo)-a=-1,
故答案為:-1;
(2)①過點A作AE⊥x軸于點E,過點B作BF⊥x軸于點F,
當(dāng)x=- 時,y=(- )2= ,
即OE= ,AE= ,
∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°,
∠AOE+∠EAO=90°,
∴∠EAO=∠BOF,
又∵∠AEO=∠BFO=90°,
∴△AEO∽△OFB,
∴ = = = ,
設(shè)OF=t,則BF=2t,
∴t2=2t,
解得:t1=0(舍去),t2=2,
∴點B(2,4);
②過點C作CG⊥BF于點G,
∵∠AOE+∠EAO=90°,∠FBO+∠CBG=90°,∠AEO=∠FBO,
∴∠EAO=∠CBG,
在△AEO和△BGC中, ,
∴△AEO≌△BGC(AAS),
∴CG=OE= ,BG=AE= .
∴xc=2- = ,yc=4+ = ,
∴點C( , ),
設(shè)過A(- , )、B(2,4)兩點的拋物線解析式為y=-x2+bx+c,由題意得, ,
解得 ,
∴經(jīng)過A、B兩點的拋物線解析式為y=-x2+3x+2,
當(dāng)x= 時,y=-( )2+3× +2= ,所以點C也在此拋物線上,
故經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為y=-x2+3x+2=-(x- )2+ .
平移方案:先將拋物線y=-x2向右平移 個單位,再向上平移 個單位得到拋物線y=-(x- )2+ .
點評: 本題是對二次函數(shù)的綜合考查,包括正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求拋物線解析式,綜合性較強,難度較大,要注意利用點的對稱、平移變換來解釋拋物線的對稱平移變換,利用點研究線也是常 用的方法之一.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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