Question

（2013•梅州）用如圖①，②所示的兩個(gè)直角三角形（部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出），完成以下兩個(gè)探究問題：

探究一：將以上兩個(gè)三角形如圖③拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠CFB的角平分線上時(shí)，連接AP，求線段AP的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中出現(xiàn)PA=FC時(shí)，求∠PAB的度數(shù)．
探究二：如圖④，將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，連接MN．在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如答圖1所示，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，構(gòu)造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的長度；
（2）如答圖2所示，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)．解直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出角的度數(shù)；
（3）如答圖3所示，證明△AMD≌△CND，得AM=CN，則△AMN兩直角邊長度之和為定值；設(shè)AM=x，求出斜邊MN的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出MN的最小值，從而得到△AMN周長的最小值．

解答：解：探究一：（1）依題意畫出圖形，如答圖1所示：

由題意，得∠CFB=60°，F(xiàn)P為角平分線，則∠CFP=30°，
∴CF=BC•tan30°=3×

3

3

=

3

，
∴CP=CF•tan∠CFP=

3

×

3

3

=1．
過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG=

1

2

BC=

3

2

，
∴PG=CG-CP=

3

2

-1=

1

2

．
在Rt△APG中，由勾股定理得：
AP=

AG2+PG2

=

( 3 2 )2+( 1 2 )2

=

10

2

．

（2）由（1）可知，F(xiàn)C=

3

．
如答圖2所示，以點(diǎn)A為圓心，以FC=

3

長為半徑畫弧，與BC交于點(diǎn)P₁、P₂，則AP₁=AP₂=

3

．

過點(diǎn)A過AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG=

1

2

BC=

3

2

．
在Rt△AGP1中，cos∠P₁AG=

AG

AP1

=

3 2

3

=

3

2

，
∴∠P₁AG=30°，
∴∠P₁AB=45°-30°=15°；
同理求得，∠P₂AG=30°，∠P₂AB=45°+30°=75°．
∴∠PAB的度數(shù)為15°或75°．

探究二：△AMN的周長存在有最小值．
如答圖3所示，連接AD．

∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．
∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，
∴∠MDA=∠NDC．
∵在△AMD與△CND中，

∠MAD=∠C AD=CD ∠MDA=∠NDC

∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM=CN．
設(shè)AM=x，則CN=x，AN=AC-CN=

2

2

BC-CN=

3 2

2

-x．
在Rt△AMN中，由勾股定理得：
MN=

AM2+AN2

=

x2+( 3 2 2 -x)2

=

2x2-3 2 x+ 9 2

=

2(x- 3 2 4 )2+ 9 4

．
△AMN的周長為：AM+AN+MN=

3 2

2

+

2(x- 3 2 4 )2+ 9 4

，
當(dāng)x=

3 2

4

時(shí)，有最小值，最小值為

3 2

2

+

9 4

=

3+3 2

2

．
∴△AMN周長的最小值為

3+3 2

2

．

點(diǎn)評：本題是幾何綜合題，考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問，由發(fā)現(xiàn)并證明△AMD≌△CND取得解題的突破點(diǎn)，再利用勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．