Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)在y軸上．
（1）求m的值及這個二次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)Q，使△QAB的周長最小，并求出此時Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若P（a，0）是x軸上的一個動點(diǎn)，過P作x軸的垂線分別與直線AB和二次函數(shù)的圖象交于D、E兩點(diǎn)．
①設(shè)線段DE的長為h，當(dāng)0＜a＜3時，求h與a之間的函數(shù)關(guān)系式；
②若直線AB與拋物線的對稱軸交點(diǎn)為N，問是否存在一點(diǎn)P，使以M、N、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²，
∵點(diǎn)A（3，4）在拋物線上，則4=a（3-1）²，
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²
∵點(diǎn)A（3，4）也在直線y=x+m，即4=3+m，
解得m=1；

（2）直線y=x+1與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（0，1），
B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′點(diǎn)的坐標(biāo)為B′（0，-1），
設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，
將A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b，
解得k=，b=-1，
∴設(shè)直線AB的解析式為y=x-1，
當(dāng)A、Q、B′三點(diǎn)在一條直線上時，
AQ+BQ的值最小，即△QAB的周長最小，
Q點(diǎn)即為直線AB′與x軸的交點(diǎn)．
Q點(diǎn)坐標(biāo)為

（3）①已知P點(diǎn)坐標(biāo)為P（a，0），則E點(diǎn)坐標(biāo)為E（a，a²-2a+1），D點(diǎn)坐標(biāo)為D（a，a+1），
h=DE=y_D-y_E=a+1-（a²-2a+1）=-a²+3a，
∴h與a之間的函數(shù)關(guān)系式為h=-a²+3a（0＜a＜3）

②存在一點(diǎn)P，使以M、N、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
理由是∵M(jìn)（1，0），
∴把x=1代入y=x+1得：y=2，
即N（1，2），
∴MN=2，
要使四邊形NMED是平行四邊形，必須DE=MN=2，
由①知DE=|-a²+3a|，
∴2=|-a²+3a|，
解得：a₁=2，a₂=1，a₃=，a₄=，
∴（2，0），（1，0）（因?yàn)楹蚆重合，舍去）（，0），（，0）
∴P的坐標(biāo)是（2，0），（，0），（，0）．
分析：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線的直線，便可求出拋物線的解析式和m的值；
（2）使△QAB的周長最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，當(dāng)A、Q、B′三點(diǎn)在一條直線上時，△QAB的周長最小；
（3）①根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)分別求出DE兩點(diǎn)坐標(biāo)，便可求出h與a之間的函數(shù)關(guān)系式；
②存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），（，0）．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的公式的求法和三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．