Question

如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高．
（1）寫出圖中所有的相似三角形______．
（2）求證：①AC²=AD•AB；②BC²=BD•AB；③CD²=AD•DB．

Answer 1

（1）解：∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，
∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，
∴△ACD∽△CBD∽△ABC；
故答案為：△ACD∽△CBD∽△ABC；

（2）證明：①∵△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；

②∵△CBD∽△ABC，
∴BC：AB=BD：BC，
∴BC²=BD•AB；

③∵△ACD∽△CBD，
∴CD：BD=AD：CD，
∴CD²=AD•DB．
分析：（1）由在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，可得∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，又由公共角相等，證得△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，則可得△ACD∽△CBD∽△ABC；
（2）①由△ACD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得結(jié)論；
②由△CBD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得結(jié)論；
③由△ACD∽△CBD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．