Question

（2005•東城區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑DF與弦AB交于點(diǎn)E，C為⊙O外一點(diǎn)，CB⊥AB于點(diǎn)B，G是直線CD上一點(diǎn)，∠ADG=∠ABD，AD∥CE．
（1）求證：AD•CE=DE•DF．
（2）若∠DAE=30°，BC=2，AD=

5

2

，AE：BE=2：3，求

BD

的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接AF，OB，∠F=∠ABD=∠GDA，推出∠GDA+∠1=90°，求出DC是圓的切線，推出∠CDE=90°，證△ADF∽△DEC，得出比例式，求出即可；
（2）求出∠CEB=∠DAE=30°，求出BE、AE，設(shè)DE=x，DF=y，求出xy=10，根據(jù)相交弦定理求出x、y，求出圓的半徑，求出∠DOB，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可．

解答：（1）證明：連接AF，OB，
∵DF是⊙O的直徑，
∴∠DAF=90°，
∵∠ADG=∠ABD，
而∠F=∠ABD．
∴∠ADG=∠F，
∵∠F+∠1=90°，
∴∠ADG+∠1=90°，
∴CG是⊙O的切線．
∴∠CDE=90°，
∵AD∥CE，
∴∠1=∠2，
∴△ADF∽△DEC，
∴

AD

DF

=

DE

CE

，
即AD•CE=DE•DF．

（2）解：∵AD∥CE，∠DAE=30°，
∴∠CEB=∠DAE=30°，
在Rt△EBC中，∵BC=2，
∴CE=4，BE=2

3

，
∵AE：BE=2：3，
∴AE=

4 3

3

，
設(shè)DE=x，DF=y
∵AD•CE=DE•DF，AD=

5

2

，
∴xy=10，
∵由AE•BE=DE•EF，得

4 3

3

×2

3

=x（y-x），
解得x²=2，
x=

2

，
∴y=5

2

，
連接OB，于是∠DOB=60°，
∴

BD

的長(zhǎng)為

60π× 5 2 2

180

=

5 2 π

6

，
答：

BD

的長(zhǎng)為

5 2 π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，相交弦定理，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．