Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝4，∠A＝120°．動點(diǎn)P、E、M分別從B、A、D三點(diǎn)同時出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)E沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)M沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，且它們的速度都為每秒2個單位．連結(jié)PE、PM、EM，設(shè)動點(diǎn)P、E、M運(yùn)動時間為t(單位：秒)，△PEM的面積為S．

(1)判斷△PAE與△EDM是否全等，說明理由；

(2)連結(jié)BD，求證：△EPM∽△ABD；

(3)求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△PEM的面積的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)△PAE≌△EDM，理由如下： 　　根據(jù)題意，得BP＝AE＝DM＝2t， 　　∵AB＝AD＝DC＝4，∴AP＝DE＝4－2t．　　1分 　　∵在梯形ABCD中，AB＝DC， 　　∴∠PAE＝∠EDM．　　2分 　　又AP＝DE，AE＝DM 　　∴△PAE≌△EDM．　　3分 　　(2)證明：∵△PAE≌△EDM， 　　∴PE＝EM，∠1＝∠2．　　4分 　　∵∠3＋∠2＝∠1＋∠BAD， 　　∴∠3＝∠BAD　　5分 　　∵AB＝AD，∴．　　6分 　　∴△EPM∽△ABD　　7分 　　(3)過B點(diǎn)作BF⊥AD，交DA的延長線于F，過P點(diǎn)作PG⊥AD交于G． 　　在Rt△AFB中，∠4＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°， 　　∴BF＝AB·sin∠4＝4·sin60°＝2． 　　∴S△ABD＝．　　8分 　　在Rt△APG中，PG＝AP·sin∠4＝(4－2t)·sin60°＝(2－t)． 　　AG＝AP·cos∠4＝(4－2t)·cos60°＝2－t． 　　∴GE＝ AG＋AE＝2－t＋2t＝2＋t． 　　∴． 　　∵△EPM∽△ABD，∴，　　9分 　　∴S△EPM＝4·＝． 　　∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S＝．(0≤t≤2)　　10分 　　∵S＝，＞0， 　　∴當(dāng)t＝1，S有最小值，最小值為．　　12分 　　另一解法(略解) 　　在Rt△APG中，PG＝AP·sin∠4＝(4－2t)·sin60°＝(2－t)． 　　AG＝AP·cos∠4＝(4－2t)·cos60°＝2－t． 　　在Rt△MFD中，FM＝DM·sin∠MDF＝2t·sin60°＝ 　　DF＝DM·cos∠MDF＝2t·cos60°＝t． 　　∴GF＝AG＋AD＋DF＝2－t＋4＋t＝6，GE＝AG＋AE＝2－t＋2t＝2＋t， 　　EF＝ED＋DF＝4－2t＋t＝4－t 　　∴S△EPM＝ S梯形PGFD－S△AGP －S△EFM 　　＝(0≤t≤2)