如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B,AB=2,與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),求△APC周長(zhǎng)的最小值;

(3)設(shè)D為拋物線上一點(diǎn),E為對(duì)稱軸上一點(diǎn),若以點(diǎn)A,B,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為       

 

【答案】

解:(1)∵AB=2,對(duì)稱軸為直線x=2,

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0)。

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,

將A(1,0)代入得:,解得。

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,即。

 (2)如圖1,連接AC、BC,BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接PA.

  由(1)拋物線解析式為,A(1,0),B(3,0),

∴C(0,3)。

。

∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱,∴PA=PB!郟A+PC=PB+PC。此時(shí),PB+PC=BC。

∴點(diǎn)P在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),(PA+PB)的最小值等于BC。

∴△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=

(3)(2,﹣1)。

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的定義易求A(1,0),B(3,0),所以設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求得h,得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

 (2)如圖1,連接AC、BC,BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接PA.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)得到PA=PB,則△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC,所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求該三角形的周長(zhǎng)的最小值即可。

(3)如圖2,根據(jù)“菱形ADBE的對(duì)角線互相垂直平分,拋物線的對(duì)稱性”得到點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),即(2,﹣1)!

 

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精英家教網(wǎng)如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E.在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)M是直線CD上的一動(dòng)點(diǎn),BM交拋物線于N,是否存在點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn),如果存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,在其對(duì)稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn),以B、C、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(
 
 
);
(2)求該拋物線的解析式和B點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)是D,求四邊形AEDB的面積;
(4)若拋物線y=mx2+nx+p與上圖中的拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,請(qǐng)直接寫出m的值.

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(2)設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線,交直線CD于點(diǎn)F,在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)G,使以點(diǎn)G、F、C為頂點(diǎn)的三角形與△COE相似,請(qǐng)直接寫出符合要求的,并在第一象限的點(diǎn)G的坐標(biāo);
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