Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，AB=2，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x=2．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長(zhǎng)的最小值；

（3）設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為      　．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵AB=2，對(duì)稱軸為直線x=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）。

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，

將A（1，0）代入得：，解得。

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，即。

 （2）如圖1，連接AC、BC，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA．

  由（1）拋物線解析式為，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3）。

∴。

∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，∴PA=PB�！郟A+PC=PB+PC。此時(shí)，PB+PC=BC。

∴點(diǎn)P在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（PA+PB）的最小值等于BC。

∴△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=。

（3）（2，﹣1）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的定義易求A（1，0），B（3，0），所以設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求得h，得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

 （2）如圖1，連接AC、BC，BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接PA．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)得到PA=PB，則△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求該三角形的周長(zhǎng)的最小值即可。

（3）如圖2，根據(jù)“菱形ADBE的對(duì)角線互相垂直平分，拋物線的對(duì)稱性”得到點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即（2，﹣1）�！�