Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，DE 是⊙O的切線，連結OD，OE

（1）求證：∠DEA=90°；

（2）若BC=4，寫出求 △OEC的面積的思路.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）思路見解析.

【解析】試題分析：（1）由△ABC 是等腰三角形，可得CA=CB，則∠A = ∠B，又由OD=OB，可得∠ODB = ∠B，所以∠A = ∠ODB，即OD ∥AC，又由DE是⊙O的切線，可得OD⊥DE，所以AC⊥DE，繼而可證得結論；（2）首先根據三角函數的性質，求得AD、CD、ED、AE、EC的長，然后求得△DEC，再根據△CDE以及△OEC的面積相等，繼而求得答案；

試題解析：

(1)連結OD，如圖所示：

∵ △ABC 是等腰三角形

∴CA=CB

∴∠A = ∠B

又OD=OB

∴∠ODB = ∠B

∴∠A = ∠ODB

∴OD ∥AC

∵DE是⊙O的切線

∴OD⊥DE,

∴AC⊥DE

∴∠DE A=90°

(2)連結CD ，由BC是直徑，得∠CDB=∠CDA=90°

由 Rt△CDA 中，BC=AC=4 ， ∠ A=30° 得 AD,CD

由Rt△AED 中， ∠ A=30° ，AD的長，得ED，AE進而求得EC

由DE,AE的長得△DEC的面積

由 OD ∥AC，△DEC的面積和△OEC的面積相等，得△OEC的面積