Question

已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)是（1，4），它與直線y₂=x+1的一個交點的橫坐標(biāo)為2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在給出的坐標(biāo)系中畫出拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）及直線y₂=x+1的圖象，并根據(jù)圖象，直接寫出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；

（3）設(shè)拋物線與x軸的右邊交點為A，過點A作x軸的垂線，交直線y₂=x+1于點B，點P在拋物線上，當(dāng)S_△PAB≤6時，求點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）首先求出拋物線與直線的交點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）確定出拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，依題意畫出函數(shù)的圖象．由圖象可以直觀地看出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；

（3）首先求出點B的坐標(biāo)及線段AB的長度；設(shè)△PAB中，AB邊上的高為h，則由S_△PAB≤6可以求出h的范圍，這是一個不等式，解不等式求出x_P的取值范圍．

解答：

解：（1）∵拋物線與直線y₂=x+1的一個交點的橫坐標(biāo)為2，

∴交點的縱坐標(biāo)為2+1=3，即交點坐標(biāo)為（2，3）．

設(shè)拋物線的解析式為y₁=a（x﹣1）²+4，把交點坐標(biāo)（2，3）代入得：

3=a（2﹣1）²+4，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為：y₁=﹣（x﹣1）²+4=﹣x²+2x+3．

（2）令y₁=0，即﹣x²+2x+3=0，解得x₁=3，x₂=﹣1，

∴拋物線與x軸交點坐標(biāo)為（3，0）和（﹣1，0）．

在坐標(biāo)系中畫出拋物線與直線的圖形，如圖：

根據(jù)圖象，可知使得y₁≥y₂的x的取值范圍為﹣1≤x≤2．

（3）由（2）可知，點A坐標(biāo)為（3，0）．

令x=3，則y₂=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即AB=4．

設(shè)△PAB中，AB邊上的高為h，則h=|x_P﹣x_A|=|x_P﹣3|，

S_△PAB=AB•h=×4×|x_P﹣3|=2|x_P﹣3|．

已知S_△PAB≤6，2|x_P﹣3|≤6，化簡得：|x_P﹣3|≤3，

去掉絕對值符號，將不等式化為不等式組：﹣3≤x_P﹣3≤3，

解此不等式組，得：0≤x_P≤6，

∴當(dāng)S_△PAB≤6時，點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍為0≤x_P≤6．

點評：

本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、三角形的面積、解不等式（組）等知識點．題目難度不大，失分點在于第（3）問，點P在線段AB的左右兩側(cè)均有取值范圍，注意不要遺漏．