Question

如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段�。�點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合)，過(guò)E作弧AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)： (1) 當(dāng)∠DEF＝45o時(shí)，求證：點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)； (2) 設(shè)AE＝x，F(xiàn)C＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； (3) 將△DEF沿直線EF翻折后得△DEF，如圖，當(dāng)EF＝時(shí)，討論△ADD與△EDF是否相似，如果相似，請(qǐng)加以證明；如果不相似，只要求寫出結(jié)論，不要求寫出理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	證明：∵∠DEF＝45°，得∠DFE＝90°－∠DEF＝45°，∴∠DFE＝∠DEF,∴DE＝DF，又∵AD＝DC，∴AE＝FC．因?yàn)锳B是圓B的半徑，AD⊥AB，所以AD切圓B于點(diǎn)A；同理，CD切圓B于點(diǎn)C，又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G，所以AE＝EG,FC＝FG，因此EG＝FG，即點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)．
(2)	解：∵EG＝AE＝x，F(xiàn)G＝CF＝y(tǒng)，∴ED＝1－x，F(xiàn)D＝1－y，在Rt△DEF中，由ED2＋FD2＝EF2，得(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2，∴y＝(0＜x＜1)．
(3)	解：當(dāng)EF＝時(shí)，由(2)得EF＝EG＋FG＝AE＋FC＝x＋＝．得x1＝或x2＝，即AE＝或AE＝．①當(dāng)AE＝時(shí)，△AD1D∽△ED1F，明如下：設(shè)直線EF交線段DD1于點(diǎn)H，如圖，據(jù)題意，△EDF≌△ED1F；EF⊥DD1且DH＝D1H．∵AE＝，AD＝1，得AE＝AD，∴EH∥AD1，∴∠D1AD＝∠FED＝∠FED1，∠ADD1＝∠EHD＝90°．又∵∠ED1F＝∠EDF＝90°，∴∠ED1F＝∠AD1D,∴△AD1D∽△ED1F，②當(dāng)AE＝時(shí)，△AD1D與△ED1F不相似．