Question

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個實(shí)數(shù)根．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線MN的解析式；
（3）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）解方程x²-14x+48=0得
x₁=6，x₂=8．
∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²-14x+48=0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴OC=6，OA=8．
∴C（0，6）；

（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA=8，則A（8，0）．
∵點(diǎn)A、C都在直線MN上，
∴，
解得，，
∴直線MN的解析式為y=-x+6；

（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根據(jù)題意知B（8，6）．
∵點(diǎn)P在直線MNy=-x+6上，
∴設(shè)P（a，-a+6）
當(dāng)以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，需要分類討論：
①當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P₁（4，3）；
②當(dāng)PC=BC時(shí)，a²+（-a+6-6）²=64，
解得，a=，則P₂（-，），P₃（，）；
③當(dāng)PB=BC時(shí)，（a-8）²+（-a+6-6）²=64，
解得，a=，則-a+6=-，∴P₄（，-）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有：P₁（4，3），P₂（-，）P₃（，），P₄（，-）．
分析：（1）通過解方程x²-14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）；
（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入解析式，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點(diǎn)P的坐標(biāo)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答．
點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識點(diǎn)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，要分類討論，防止漏解．另外，解答（3）題時(shí)，還利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．