Question

如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x²+bx+c與x軸的另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．
①求該拋物線的解析式和A點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接AC，BP，求證：△BCP∽△OCA；
③在x軸上找一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：①確定B，C的坐標(biāo)，代入拋物線y=x²﹢bx﹢c得到b，c的值．
②△BCP和△OCA的三條邊都可求出，利用三邊對(duì)應(yīng)比證明．
③△ABC的∠B等于45°，確定Q點(diǎn)在B點(diǎn)左邊．通過對(duì)應(yīng)邊的比求出QB，得到Q點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：①y=-x+3，
x=0時(shí)，y=3，
y=0時(shí)，x=3，
∴B（3，0），C（0，3），
代入y=x²+bx+c得：，
解得：b=-4，c=3，
即拋物線的解析式是：y=x²-4x+3，（2分）
當(dāng)y=0時(shí)，x²-4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1，
即A的坐標(biāo)是（1，0）．

②解：A（1，0），B（3，0），C（0，3），P（2，-1），
由勾股定理得：CB=3，CP=2，BP=，AC=，OC=3，OA=1，
∴===，
∴△BCP∽△OCA

③∵∠ABC=∠ABP=45°，
∴點(diǎn)Q只能在點(diǎn)B的左側(cè)，
若，
即
可解得BQ=3，
∵B（3，0），
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，0）；
若，即，
解得BQ=，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，0）．（9分）
點(diǎn)評(píng)：①點(diǎn)在圖象上那么它的坐標(biāo)滿足圖象的解析式，在用待定系數(shù)法前要確定點(diǎn)的坐標(biāo)．②判斷兩個(gè)三角形相似看條件選擇定理．③對(duì)于沒有確定對(duì)應(yīng)關(guān)系的相似三角形要分類討論．