Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延長線于點E，點F在AB上，且EF∥AC．求證：點F是AB的中點．

Answer 1

證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵EF∥AC，
∴∠AEF=∠CAE，
∴∠AEF=∠BAE，
∴AF=EF，
又∵BE⊥AD，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BEF+∠AEF=90°，
又∠AEF=∠BAE，
∴∠ABE=∠BEF，
∴BF=EF，
∴AF=BF，
∴F為AB中點．
分析：由AD為角平分線，利用角平分線定義得到一對角相等，再由EF與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，等量代換可得出∠AEF=∠BAE，利用等角對等邊得到AF=EF，再由AE與AD垂直，利用垂直的定義及直角三角形的兩銳角互余，得到兩對角之和為90°，由∠AEF=∠BAE，利用等角的余角相等可得出∠BEF=∠ABE，利用等角對等邊得到BF=EF，等量代換得到AF=BF，即F為AB的中點，得證．
點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，其中等腰三角形的判定方法簡稱“等角對等邊”；等腰三角形的性質(zhì)簡稱“等邊對等角”．