Question

【題目】如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．

（1）若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，則∠B=　 　°；

（2）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分線，不難證明△ABD是“準互余三角形”．試問在邊BC上是否存在點E（異于點D），使得△ABE也是“準互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由．

（3）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“準互余三角形”，求對角線AC的長．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）BE=．（3）AC=20．

【解析】

（1）根據“準互余三角形”的定義構建方程即可解決問題；

（2）只要證明△CAE∽△CBA，可得CA2=CECB，由此即可解決問題；

（3）如圖②中，將△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要證明△FCB∽△FAC，可得CF2=FBFA，設FB=x，則有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍棄），再利用勾股定理求出AC即可；

（1）∵△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，

∴2∠B+∠A=60°，

解得，∠B=15°；

（2）如圖①中，

在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，

∴∠B+2∠BAD=90°，

∴△ABD是“準互余三角形”，

∵△ABE也是“準互余三角形”，

∴只有2∠B+∠BAE=90°，

∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，

∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，

∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CECB，

∴CE=，

∴BE=5﹣=．

（3）如圖②中，將△BCD沿BC翻折得到△BCF．

∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，

∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，

∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，

∴A、B、F共線，

∴∠A+∠ACF=90°

∴2∠ACB+∠CAB≠90°，

∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，

∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，

∴△FCB∽△FAC，

∴CF2=FBFA，設FB=x，

則有：x（x+7）=122，

∴x=9或﹣16（舍去），

∴AF=7+9=16，

在Rt△ACF中，AC=．