Question

如圖，在△ABC中，中線BD、CE相交于點O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）當(dāng)AB=AC時，判斷四邊形DEFG的形狀；
（3）連接OA，當(dāng)OA=BC時，判斷四邊形DEFG的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線定理推知ED∥FG，ED=FG，則由“對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）矩形．連接AO并延長交BC于點M，先由三角形中線的性質(zhì)得出M為BC的中點，當(dāng)AB=AC時，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AM⊥BC，再由三角形中位線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形．
（3）利用三角形中位線定理證得平行四邊形DEFG的鄰邊DG=FG．則四邊形DEFG是菱形．

解答：（1）證明：∵D、E分別為AC、AB的中點
∴ED∥BC，ED=

1

2

BC．
同理FG∥BC，FG=

1

2

BC，
∴ED∥FG，ED=FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）解：如圖1，當(dāng)AB=AC時，?DEFG變成矩形．理由如下：
連接AO并延長交BC于點M．
∵三角形的三條中線相交于同一點，△ABC的中線BD、CE交于點O，
∴M為BC的中點，
當(dāng)AB=AC時，AM⊥BC，
∵E，F(xiàn)，G分別是AB，OB，OC的中點，
∴EF∥AO，F(xiàn)G∥BC，
∴EF⊥FG；
∴?EFGH是矩形．

（3）解：如圖2，當(dāng)OA=BC時，四邊形DEFG是菱形．
∵D、G分別是AC、OC的中點
∴DG=

1

2

AO．
∵OA=BC
∴DG=FG．
∵四邊形DEFG是平行四邊形
∴四邊形DEFG是菱形．

點評：本題考查了平行四邊形、矩形的判定，三角形的中位線性質(zhì)定理，三角形中線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，其中三角形的中位線的性質(zhì)定理為證明線段相等和平行提供了依據(jù)．