Question

如圖（1），已知在△ABC中，AB=AC=10，AD為底邊BC上的高，且AD=6．將△ACD沿箭頭所示的方向平移，得到△A′CD′．如圖（2），A′D′交AB于E，A′C分別交AB、AD于G、F．以D′D為直徑作⊙O，設(shè)BD′的長(zhǎng)為x，⊙O的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（2）連接EF，求EF與⊙O相切時(shí)x的值；
（3）設(shè)四邊形ED′DF的面積為S，試求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，S的值最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）本題的關(guān)鍵是求出DD′的長(zhǎng)，已知了AB、AD的長(zhǎng)，可在直角三角形BDA中，用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，根據(jù)DD′=BD-BD′即可得出DD′的表達(dá)式，有了DD′的長(zhǎng)即圓的直徑可根據(jù)圓的面積公式得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）EF與圓O′相切，那么D′E=

1

2

D′D，根據(jù)（1）得出的DD′的表達(dá)式可表示出D′E的長(zhǎng)，然后根據(jù)△BD′E與△BDA相似，可得出關(guān)于D′E、DA、BD′、BD的比例關(guān)系式，以此來確定x的值．
（3）在（1）、（2）中已經(jīng)得出了D′D和D′E的表達(dá)式，即可根據(jù)矩形的面積公式求出S，x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵AB=10，AD=6，∠ADB=90°
∴BD=CD=8
∴DD'=BD-BD'=8-x
∴y=π(

8-x

2

)2
∴y=

π

4

（8-x）²（0≤x＜8）．

（2）∵△BD'E≌△CDF
∴ED'=DF
∵ED'∥DF，∠FDD'=90°
∴四邊形ED'DF是矩形
∴EF∥DD'
若DF與⊙O相切，則ED'=

1

2

DD'
∵∠ED'B=∠AOB=90°，∠B=∠B
∴△BED'∽△BAD
∴

ED′

AD

=

BD′

BD

，
即

ED′

6

=

x

8

∴ED'=

3

4

x
∴

3

4

x=

8-x

2

解得x=

16

5

因此，當(dāng)x=

16

5

時(shí)，EF與⊙O相切．

（3）S=ED'•D'D=

3

4

x(8-x)
=-

3

4

x²+6x
=-

3

4

（x-4）²+12
∴x=4時(shí)，滿足0≤x＜8，S的值最大，最大值是12．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合矩形的性質(zhì)以及三角形的相似考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想來求解是本題的基本思路．