Question

（2009•武漢）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO交AD于F，OE⊥OB交BC邊于點(diǎn)E．
（1）求證：△ABF∽△COE；
（2）當(dāng)O為AC的中點(diǎn)，時(shí)，如圖2，求的值；
（3）當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求證：△ABF∽△COE，只要證明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE即可．
（2）作OH⊥AC，交AD的延長線于H，易證△ABF≌△COE，進(jìn)而證明△ABF∽△HOF，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可得出所求的值．同理可得（3）=n．
解答：（1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE=90°，
∵∠BOA+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠COE．
∴△ABF∽△COE．

（2）解：過O作AC垂線交BC于H，則OH∥AB，
由（1）得∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．
∴∠AFB=∠OEC，
∴∠AFO=∠HEO，
而∠BAF=∠C，
∴∠FAO=∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴OF：OE=OA：OH
又∵O為AC的中點(diǎn)，OH∥AB．
∴OH為△ABC的中位線，
∴OH=AB，OA=OC=AC，
而，
∴OA：OH=2：1，
∴OF：OE=2：1，即=2；

（3）解：=n．
點(diǎn)評(píng)：本題難度中等，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)．