【題目】2017甘肅省天水市)△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合,將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q

1)如圖①,當點Q在線段AC上,且AP=AQ時,求證:△BPE≌△CQE;

2)如圖②,當點Q在線段CA的延長線上時,求證:△BPE∽△CEQ;并求當BP=2CQ=9BC的長.

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析,

【解析】

試題(1)由AB=AC,AP=AQ可得BP=CQ,又因BE=CE,∠B=∠C=45°,利用“SAS”判定△BPE≌△CQE;(2)連接PQ,根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,所以∠BEP=∠EQC;再由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得△BPE∽△CQE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得,把BP=a,CQ=代入上式可求得BE=CE=,再求得AB=AC=BCsin45°=3a,所以,在Rt△APQ中,由勾股定理可得

試題解析:

解:(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=∠C=45°,AB=AC,

∵AP=AQ

∴BP=CQ,

∵EBC的中點,

∴BE=CE

△BPE△CQE中,

∴△BPE≌△CQESAS);

2)解:連接PQ,

∵△ABC△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,

∴∠B=∠C=∠DEF=45°∵∠BEQ=∠EQC+∠C,

∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,

∴∠BEP+45°=∠EQC+45°

∴∠BEP=∠EQC,

∴△BPE∽△CQE,

,

∵BP=aCQ=aBE=CE,

,

∴BE=CE=

,

∴AB=AC=BCsin45°=3a,

,

Rt△APQ中,

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=1cm,AB=3cm,BC=5cm,動點P從點B出發(fā)以1cm/s的速度沿BC的方向運動,動點Q從點C出發(fā)以2cm/s的速度沿CD方向運動,P、Q兩點同時出發(fā),當Q到達點D時停止運動,點P也隨之停止,設(shè)運動的時間為ts(t>0)

(1)求線段CD的長;

(2)t為何值時,線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1:2兩部分?

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①∠EBG=45°; ②△DEF∽△ABG;

③S△ABG=S△FGH; ④AG+DF=FG.

其中正確的是_____.(填寫正確結(jié)論的序號)

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【題目】在一個木制的棱長為3的正方體的表面涂上顏色,將它的棱三等分,然后從等分點把正方體鋸開,得到27個棱長為l的小正方體,將這些小正方體充分混合后,裝入口袋,從這個口袋中任意取出一個小正方體,則這個小正方體的表面恰好涂有兩面顏色的概率是_____.

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【題目】閱讀理解材料一:一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形叫梯形,其中平行的兩邊叫梯形的底邊,不平行的兩邊叫梯形的底邊,不平行的兩邊叫梯形的腰,連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線.梯形的中位線具有以下性質(zhì):梯形的中位線平行于兩底和,并且等于兩底和的一半.

如圖(1):在梯形ABCD中:AD∥BC,

∵E、FABCD的中點,∴EF∥AD∥BC,EF=AD+BC

材料二:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊

如圖(2):在△ABC中:∵EAB的中點,EF∥BC

∴FAC的中點

請你運用所學知識,結(jié)合上述材料,解答下列問題.

如圖(3)在梯形ABCD中,AD∥BCAC⊥BDO,E、F分別為AB、CD的中點,∠DBC=30°

1)求證:EF=AC;

2)若OD=OC=5,求MN的長.

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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點F、C是⊙O上兩點,且 = = ,連接AC、AF,過點C作CD⊥AF,交AF的延長線于點D,垂足為D,若CD=2 ,則⊙O的半徑為(

A. 2 B. 4 C. 2 D. 4

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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,已知ABAD2,BC3,CD1,∠A90°.

1)求BD的長;

2)求∠ADC的度數(shù).

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【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,動點PB點出發(fā),沿BCDA勻速運動,設(shè)點P運動的路程為x,△ABP的面積為y,圖象如圖2所示.

1)在這個變化中,自變量、因變量分別是      ;

2)當點P運動的路程x4時,△ABP的面積為y   ;

3)求AB的長和梯形ABCD的面積.

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同步練習冊答案