Question

如圖，在三角形ABC中，以AB為直徑作⊙O，交AC于點E，OD⊥AC于D，∠AOD=∠C．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若AE=12，cosC=

2

3

，求OD的長．

Answer 1

分析：（1）因為AB為圓的直徑，所以要證明BC為⊙O的切線，轉(zhuǎn)化為證明∠ABC=90°即可
（2）由垂徑定理可得，D為AE中點，根據(jù)已知可利用銳角三角函數(shù)和勾股定理求出．

解答：（1）證明：∵OD⊥AC于D，
∴∠ADO=90°，
∴∠A+∠AOD=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC為⊙O的切線；

（2）解：∵OD⊥AE，O為圓心，
∴D為AE中點，
∴AD=DE=

1

2

AE=6，
又∵∠AOD=∠C，
∴cosC=cos∠AOD=

2

3

∴

DO

AO

=

2

3

，
設(shè)OD=2x，則AO=3x，∵AD=6，
∴（2x）²+6²=（3x）²，
∴x=

6 5

5

．
∴OD=2x=

12 5

5

．

點評：此題主要考查了圓的切線判定和性質(zhì)，及解直角三角形的知識和垂徑定理的應用等知識，利用OD⊥AE，O為圓心，得出D為AE中點，再利用解直角三角形知識是解決問題的關(guān)鍵．