Question

正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM.

（1）求證：EF=FM；
（2）當(dāng)AE=1時，求EF的長．

Answer 1

試題分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE=DM，∠EDM=90°，再結(jié)合∠EDF=45°可得∠FDM =∠EDM=45°，再有公共邊DF即可證得△DEF≌△DMF，從而得到結(jié)論；（2）

解析試題分析：（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合正方形的得到DE=DM，∠EDM=90°，再結(jié)合∠EDF=45°可得∠FDM =∠EDM=45°，再有公共邊DF即可證得△DEF≌△DMF，從而得到結(jié)論；  
（2）設(shè)EF="x" ，即可得到BF=BM-MF=BM-EF=4-x，在Rt△EBF中根據(jù)勾股定理即可列方程求解.
（1）∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM
∴DE=DM，∠EDM=90°
∴∠EDF +∠FDM=90°
∵∠EDF=45°
∴∠FDM =∠EDM=45°
∵DF=" DF"
∴△DEF≌△DMF
∴EF=MF；  
（2）設(shè)EF=x    
∵AE=CM=1      
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x 
∵EB=2
在Rt△EBF中，由勾股定理得
即
解得 
∴EF的長為.
考點：正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理
點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊的夾角是旋轉(zhuǎn)角.