Question

矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上的B′處，折痕為AE，點(diǎn)P是AE上的一點(diǎn)，且BP=BE，連接B′P．
（1）求B′D的長(zhǎng)；
（2）求證：四邊形BPB′E的形狀為菱形；
（3）若在折痕AE上存在一點(diǎn)到邊CD的距離與到點(diǎn)B的距離相等，請(qǐng)直接寫出此相等距離的值．

Answer 1

（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
由折疊的性質(zhì)可得：AB′=AB=5，
在Rt△ADB′中，B′D==3；

（2）證明：由折疊的性質(zhì)可得：BP=B′P，BE=B′E，
∵BP=BE，
∴BP=B′P=B′E=BE，
∴四邊形BPB′E的形狀為菱形；

（3）存在．
∵四邊形BPB′E的形狀為菱形，
∴BE∥B′P，BP=B′P，
∴BC⊥CD，
∴B′P⊥CD，
∴點(diǎn)P到邊CD的距離與到點(diǎn)B的距離相等，
設(shè)BP=x，
則B′E=x，
∵B′C=CD-B′D=5-3=2，CE=BC-BE=4-x，
在Rt△B′CE中，B′E²=CE²+B′C²，
∴x²=（4-x）²+2²，
解得：x=2.5，
∴此相等距離的值為2.5．
分析：（1）由折疊的性質(zhì)，可得AB′=AB=5，又由矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4，根據(jù)勾股定理即可求得B′D的長(zhǎng)；
（2）由BP=BE與折疊的性質(zhì)，即可證得BP=B′P=B′E=BE，則可得四邊形BPB′E的形狀為菱形；
（3）由四邊形BPB′E的形狀為菱形，可得點(diǎn)P到邊CD的距離與到點(diǎn)B的距離相等，然后設(shè)BP=x，由勾股定理可得：x²=（4-x）²+2²，解此方程即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及菱形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．