Question

（2006•永州）（附加題）如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的直徑AD交小圓于M，N兩點(diǎn)，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作直線CE⊥AD，垂足為E，交大圓于F，H兩點(diǎn)．
（1）試判斷線段AC與BC的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求證：FC•CH=AE•AO；
（3）若FC，CH是方程x²-2x+4=0的兩根（CH＞CF），求圖中陰影部分圖形的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）相等，主要根據(jù)是垂徑定理，從已知條件中可知AB為大圓的弦，且垂直于半徑，所以相等．
（2）利用切線定理，和相交弦定理就可證明．
（3）先解方程求出根，再觀察圖發(fā)現(xiàn)陰影部分圖形的周長(zhǎng)就是一段弧長(zhǎng)加一線段，分別計(jì)算相加．
解答：（1）解：相等．（1分）
連接OC，則CO⊥AB，故AC=BC．（3分）

（2）證明：由△ACH∽△FCB，得AC•CB=FC•CH=AC²，（4分）
又由△ACE∽△AOC，得AC²=AE•AO．（5分）
∴FC•CH=AE•AO．（6分）

（3）解：解方程得：CH=+1，CF=-1，（7分）
CE=-（-1）=1，AC²=4，AC=2，
在Rt△ACE中，sinA=，
∴∠A=30°，∴∠AOC=60°，∠CON=120度．
在△ACO中，CO=AC•tanA=2×，
AO=，AM=AO-OM=，
弧CN長(zhǎng)=，
AN=AM+2OC=，（9分）
陰影部分周長(zhǎng)=AC+AN+．（10分）
點(diǎn)評(píng)：[點(diǎn)評(píng)]本題是比較傳統(tǒng)的幾何型綜合壓軸題，涉及圓、相似、三角等幾何重點(diǎn)知識(shí)．