Question

已知關(guān)于x的方程4x²-4（k+1）x+k²+1=0的兩實(shí)根x₁、x₂滿足：|x₁|+|x₂|=2，試求k的值．

Answer 1

分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以得出x₁•x₂=

1

4

（k²+1）＞0，即x₁與x₂同號(hào)，因而可以根據(jù)兩根是正數(shù)或負(fù)數(shù)，
先分類討論去絕對(duì)值，根與系數(shù)的關(guān)系，已知兩根的和是k+1，求出k的值，然后根據(jù)根的判別式進(jìn)行取舍．

解答：解：解法一：依題意，x₁•x₂=

1

4

（k²+1）＞0，
∴x₁與x₂同號(hào)，
（1）當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，有x₁+x₂=2，即k+1=2，k=1．
（2）當(dāng)x₁＜0，x₂＜0時(shí)，有-（x₁+x₂）=2，即k+1=-2，k=-3．
△=[-4（k+1）]²-16（k²+1）=32k，
當(dāng)k=-3時(shí)，△＜0舍去．
所以，滿足題意的k的值為1．
解法二：依題意，△=[-4（k+1）]²-16（k²+1）=32k≥0，即k≥0，
于是x₁+x₂=k+1＞0，
又x₁•x₂=

1

4

（k²+1）＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
由|x₁|+|x₂|=2，得x₁+x₂=2，
k+1=2，解得k=1．
所以，滿足題意的k的值為1．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，首先確定兩個(gè)根同號(hào)是解題關(guān)鍵．