Question

某化工材料經(jīng)銷(xiāo)公司購(gòu)進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每千克30元．物價(jià)部門(mén)規(guī)定銷(xiāo)售單價(jià)不得高于每千克70元，也不得低于30元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝺r(jià)為70元時(shí)，日均銷(xiāo)售60千克；單價(jià)每降低1元，日均多銷(xiāo)售出2千克．在銷(xiāo)售過(guò)程中，每天還要支出其他費(fèi)用500元（天數(shù)不足一天時(shí)，按整天計(jì)算）．設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x元，日均獲利為y元．
（1）求y與x的二次函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（2）將（1）中所求出的二次函數(shù)配方成y=a（x+

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

的形式．寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)，并在圖中畫(huà)出草圖；觀察圖象，指出單價(jià)定為多少時(shí)日均獲利最多是多少？
（3）若將這種化工原料全部售出，比較日均獲利最多和銷(xiāo)售單價(jià)最高這兩種銷(xiāo)售方式，哪一種獲總利較多，多多少？

Answer 1

分析：（1）日利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)×日銷(xiāo)售量-雜支．每千克利潤(rùn)為（x-30）元，每千克降低（70-x）元，日均多銷(xiāo)售出2（70-x）千克，日均銷(xiāo)售量為[60+2（70-x）]千克，雜支為500元，所以得函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)題意30≤x≤70；
（2）運(yùn)用配方法配成頂點(diǎn)式，得頂點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)畫(huà)圖觀察圖象的最高點(diǎn)位置就是獲利最多，此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值即為定價(jià)；
（3）銷(xiāo)售單價(jià)最高即是每千克70元銷(xiāo)售，日銷(xiāo)售量60千克，全部售出需

7000

60

天，計(jì)算此時(shí)的利潤(rùn)，與日均獲利最多的銷(xiāo)售方式比較，即得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)為x元，
則每千克降低（70-x）元，日均多銷(xiāo)售出2（70-x）千克，
日均銷(xiāo)售量為[60+2（70-x）]千克，每千克獲利為（x-30）元．
故y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x²+260x-6500（30≤x≤70）；

（2）∵函數(shù)y=-2x²+260x-6500可化為y=-2（x-65）²+1950的形式，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（65，1950），
畫(huà)出草圖：

經(jīng)觀察可知，當(dāng)單價(jià)定為65元時(shí)，日均獲利最多，為1950元；

（3）當(dāng)日均獲利最多時(shí)：
單價(jià)為65元，日均銷(xiāo)售60+2×（70-65）=70千克，
將這種化工原料全部銷(xiāo)售完需7000÷70=100天，
總獲利為1950×100=195000元，
當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)最高時(shí)，
單價(jià)為70元，日均銷(xiāo)售60千克，
將這種化工原料全部銷(xiāo)售完需

7000

60

≈117天，
獲總利為（70-30）×7000-117×500=221500元，
221500-195000=26500元，故銷(xiāo)售單價(jià)最高時(shí)獲總利較多，且多獲利26500元．

點(diǎn)評(píng)：此題的難度在比較兩種不同的銷(xiāo)售方式的利潤(rùn)，涉及銷(xiāo)售時(shí)間的問(wèn)題，這點(diǎn)應(yīng)該注意．