Question

如圖，已知Rt△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐標(biāo)為（3，0），⊙C的圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1，若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交與點(diǎn)E．求：
（1）過(guò)點(diǎn)A、B、C的二次函數(shù)關(guān)系式；
（2）求△ABE面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐標(biāo)為（3，0）求出B點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出過(guò)點(diǎn)A、B、C的二次函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）由題意可得當(dāng)⊙C與AD相切時(shí)，△ABE面積最大，然后連接CD，由切線的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理，可求得AD的長(zhǎng)，易證得△AOE∽△ADC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易求得OE的長(zhǎng)，繼而求得△ABE面積的最大值．
解答：解：（1）∵Rt△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB=90°，∠BAO=30°，且A的坐標(biāo)為（3，0），
∴B（0，），
設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x+1）（x-3），把點(diǎn)B（0，）代入得，
∴=a×1×（-3），解得a=-，
∴過(guò)點(diǎn)A、B、C的二次函數(shù)關(guān)系式為：y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+x+；

（2）∵△ABE的高OA是定值，
∴BE越長(zhǎng)，則△ABE的面積越大，
∴當(dāng)⊙C與AD相切時(shí)，△ABE面積最大，連接CD，
則∠CDA=90°，
∵A（3，0），B（0，），⊙C的圓心為點(diǎn)C（-1，0），半徑為1，
∴CD=1，AC=3+1=4，
∴AD===，
∵∠AOE=∠ADC=90°，∠EAO=∠CAD，
∴△AOE∽△ADC，
∴=，=，解得OE=，
∴BE=OB+OE=+，
∴S_△ABE最大=BE•OA=×（+）×3=+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．