Question

26、探究題．
如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC角平分線(xiàn)BD于D，AC，BD交于E．AF為BC中線(xiàn)，交BE于G．
（1）求證：BE=2CD；
（2）CE和BG大小如何？不必證明．

Answer 1

分析：（1）延長(zhǎng)CE與BA延長(zhǎng)線(xiàn)交于F．BD為角平分線(xiàn)：∠HBE=∠CBE∠BEH=∠BEC=90°（CE⊥BD）．則CE=EF（這部分其實(shí)用BE是角平分線(xiàn)、高，同時(shí)也是中線(xiàn)來(lái)證明，即三線(xiàn)合一）．CF=2CE∠BEH=90，∠AHC+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90∠ADB=∠AHC，AB=AC．所以三角形ABD全等于A(yíng)CF，則BD=CH、BD=2CE；
（2）根據(jù)圖示直接回答．

解答：解：（1）證明：延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于H．
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠CDB=90°，又∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，∠BAC=∠CAH=90°，
∴△ABE≌△ACH，
∴CH=BE；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，又∠BDH=∠BDC=90°，BD=BD，
∴△BHD≌△BDC，
∴CH=2CD，
∴BE=2CD；

（2）CE＜BG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)．本題通過(guò)作輔助線(xiàn)“延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于H”構(gòu)建全等三角形來(lái)證明的．