Question

如圖，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，過點(diǎn)C作CD⊥AC交AB于點(diǎn)D．

(1)尺規(guī)作圖：過A、D、C三點(diǎn)作⊙O(只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法)；

(2)求證：BC是過A、D、C三點(diǎn)的圓的切線；

(3)若過A、D、C三點(diǎn)的圓的半徑為，則線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似．若存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)作出圓心O(即AD的中點(diǎn))，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓． 　　(2)證明：因?yàn)镃D⊥AC， 　　所以∠ACD＝90°． 　　所以AD是⊙O的直徑． 　　連接OC， 　　因?yàn)椤螦＝∠B＝30°， 　　所以∠ACB＝120°． 　　又因?yàn)镺A＝OC， 　　所以∠ACO＝∠A＝30°． 　　所以∠BCO＝∠ACB－∠ACO＝120°－30°＝90°． 　　所以BC⊥OC． 　　所以BC是⊙O的切線． 　　(3)存在． 　　因?yàn)椤螧CD＝∠ACB－∠ACD＝120°－90°＝30°， 　　所以∠BCD＝∠B，即DB＝DC． 　　又因?yàn)樵赗t△ACD中，DC＝AD·sin30°＝， 　　所以BD＝． 　�、佼�(dāng)△BP1D∽△BCO時(shí)，∠DP1B＝∠OCB＝90°． 　　在Rt△BP1D中， 　　DP1＝BD·sin30°＝． 　　②當(dāng)△BDP2∽△BCO時(shí)，∠P2DB＝∠OCB＝90°． 　　在Rt△BDP2中，DP2＝BD·tan30°＝1．