Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），進(jìn)行如下操作：將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂，如此重復(fù)操作下去，得到線段OP₃，OP₄，…，則：
（1）點(diǎn)P₅的坐標(biāo)為    ；
（2）落在x軸正半軸上的點(diǎn)P_n坐標(biāo)是    ，其中n滿足的條件是n=8k（k=0，1，2…的整數(shù)）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP的2倍，得到線段OP₁=2，那么P₁的坐標(biāo)為（，），又將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂=4，那么P₂的坐標(biāo)為（0，4），由此類推P₃的坐標(biāo)為（-4，4），P₄的坐標(biāo)為（16，0），P₅的坐標(biāo)為（-16，-16）；
（2）如果通過旋轉(zhuǎn)最后落在x軸正半軸上，由于每次旋轉(zhuǎn)45°，所以可以求出需要360°÷45°=8次才能落在x軸正半軸上，并且每旋轉(zhuǎn)一次OP擴(kuò)大一倍，那么旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P_n的坐標(biāo)可以求出了．
解答：解：（1）∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），
而將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP的2倍，
∴線段OP₁=2，
∴P₁的坐標(biāo)為（，），
又將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，
∴線段OP₂=4，
∴P₂的坐標(biāo)為（0，4），
由此類推P₃的坐標(biāo)為（-4，4），P₄的坐標(biāo)為（16，0），P₅的坐標(biāo)為（-16，-16）；

（2）∵通過旋轉(zhuǎn)最后落在x軸正半軸上，而每次旋轉(zhuǎn)45°，
∴需要旋轉(zhuǎn)360°÷45°=8次才能落在x軸正半軸上，
并且每旋轉(zhuǎn)一次OP擴(kuò)大一倍，
∴OP_n=2ⁿ，
∴旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（2ⁿ，0），其中n滿足的條件是n=8k（k=0，1，2…的整數(shù)）．
點(diǎn)評：本題涉及圖形變換--旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了新課標(biāo)的精神，抓住旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向逆時針，旋轉(zhuǎn)角度45°，通過畫圖確定各點(diǎn)．