Question

如圖11，已知○為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠AOB=30°,∠ABO=90°,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0).

【小題1】求點(diǎn)B的坐標(biāo)
【小題2】若二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、O三點(diǎn)，求此二次函數(shù)的解析式；
【小題3】在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點(diǎn)O、B)上，是否存在一點(diǎn)C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【小題1】()
【小題2】y=x²+x.
【小題3】()，解析:
(1) 在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴ OB=. 過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于x軸，垂足為D，則  OD=，BD=，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為() .
(2) 將A(2,0)、B ()、O(0,0)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，得
解有a=，b=，c="0." ∴所求二次函數(shù)解析式是 y=x²+x.
(3) 設(shè)存在點(diǎn)C (x , x²+x) (其中0<x<)，使四邊形ABCO面積最大.
∵△OAB面積為定值，
∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大.
過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點(diǎn)F，則
S_△OBC= S_△OCF +S_△BCF==，
而 |CF|=y_C-y_F=，
∴ S_△OBC= .
∴當(dāng)x=時(shí)，△OBC面積最大，最大面積為.
此時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為()，四邊形ABCO的面積為.