Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F。

1.求證：△ABE≌△CDF；

2.若AC與BD交于點(diǎn)O， 求證：AO=CO

 

Answer 1

【答案】

 

1.證明：(1)∵AE⊥BD，CF⊥BD

∴∠AEB=∠CFD=90° ……………………1分

∵BF=DE

∴BF-EF=DE-EF  即BE=DF  ……………………2分

∵AB=CD

∴Rt△ABE≌Rt△CDF          ……………………3分

2.由(1)可知Rt△ABE≌Rt△CDF

∴∠ABE=∠CDF               ……………………4分

∴AB∥CD                    ……………………5分

∵AB=CD

∴四邊形ABCD平行四邊形，    ……………………6分

∴OA=OC                 ……………………7分

【解析】（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可證得：△ABE≌△CDF；

（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即即可證得四邊形ABCD是平行四邊形，則可得AO=CO