精英家教網(wǎng)已知:如圖,拋物線y=x2+4x+m與x軸的負半軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C(0,3),過A、C兩點作直線AC.
(1)直接寫出m的值及點A、B的坐標(biāo);
(2)點P是線段AC上一點,設(shè)△ABP、△BPC的面積分別為S1、S2,且S1:S2=2:3,求點P的坐標(biāo);
(3)①設(shè)⊙O′的半徑為1,圓心O′在拋物線上運動,則在運動過程中是否存在⊙O′與坐標(biāo)軸相切的情況?若存在,求出圓心O’的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
②探究:設(shè)⊙O′的半徑為r,圓心O′在拋物線上運動,當(dāng)r取何值時,⊙O′與兩坐標(biāo)軸都相切?
分析:(1)將點C的坐標(biāo)代入,即可求得m的值和二次函數(shù)的解析式,再讓y=0,解一元二次方程,即可得出點A、B的坐標(biāo);
(2)可得出直線AC的解析式,因為點P在線段AC上,設(shè)點P(x,x+3),S△ABP=
1
2
AB•|x+3|,S△BPC=S△ABC-S△ABP,從而求得點P的坐標(biāo);
(3)①:與坐標(biāo)軸相切,則圓心在y=1,y=-1,x=-1或x=1三條直線上;②:與兩坐標(biāo)軸均相切,則圓心在y=-x或y=x上.
解答:解:(1)∵拋物線y=x2+4x+m與與y軸交于點C(0,3),∴m=3,
∴拋物線的解析式為y=x2+4x+3,
令y=0,得x2+4x+3=0,
即得x=-1或-3,
∴A(-3,0),B(-1,0),

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
-3k+b=0
b=3
,
即得b=3,k=1,
∴直線AC的解析式為y=x+3,
∵P在線段AC上,∴設(shè)點P(x,x+3),
∴S1=S△ABP=
1
2
AB•|x+3|=|x+3|,
S2=S△BPC=S△ABC-S△ABP
=
1
2
×2×3-
1
2
AB•|x+3|
=3-|x+3|,
∵S1:S2=2:3,
∴|x+3|:(3-|x+3|)=2:3,
∴|x+3|=
6
5
,
解得x=-
9
5
或-
21
5
,
∵P在線段AC上,∴-3<x<0,
∴舍去x=-
21
5

∴點P的坐標(biāo)為(-
9
5
6
5
);

(3)①⊙O′的半徑為1,圓心在y=1上,解得x=-2±
2
;
圓心在y=-1上,解得x=-2;
圓心在x=1上,解得y=8;
圓心在x=-1上,解得y=0;
∴⊙O′的坐標(biāo)為(-2,-1),(-2+
2
,1),(-2-
2
,1),(1,8),(-1,0);
②)⊙O′的半徑為r,與兩坐標(biāo)軸均相切,則圓心在y=-x或y=x上,
圓心在y=x上,無交點;
圓心在y=-x上,解得x=
-5±
13
2
,則r=
13
2
,
∴當(dāng)r=
13
2
時,⊙O′與兩坐標(biāo)軸都相切.
點評:本題是一道中考壓軸題,考查了拋物線解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點.是一道難度較大的二次函數(shù)題,需注意分類討論,全面考慮點O′所在位置的各種情況.難點在于考慮問題要全面,做到不重不漏.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點,它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3,精英家教網(wǎng)與y軸交點C的縱坐標(biāo)為3,△ABC的外接圓的圓心為點M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)求圖象經(jīng)過M、A兩點的一次函數(shù)解析式;
(3)在(1)中的拋物線上是否存在點P,使過P、M兩點的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點E、F和點B所組成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,拋物線的頂點為點D,與y軸相交于點A,直線y=ax+3與y軸也交于點A,矩形ABCO的頂點B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點的一個動圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點的距離為4時,求圓心P的坐標(biāo);
(3)若線段DO與AB交于點E,以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似,如果有可能,請求出點D坐標(biāo)及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•寧化縣質(zhì)檢)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(1-
3
,0)和點B,將拋物線沿x軸向上翻折,頂點P落在點P′(1,3)處.
(1)求原拋物線的解析式;
(2)在原拋物線上,是否存在一點,與它關(guān)于原點對稱的點也在該拋物線上?若存在,求滿足條件的點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(3)學(xué)校舉行班徽設(shè)計比賽,九年級(5)班的小明在解答此題時頓生靈感:過點P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點,將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉,設(shè)計成一個“W”型的班徽,“5”的拼音開頭字母為W,“W”圖案似大鵬展翅,寓意深遠;而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
(約等于0.618).請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少?(參考數(shù)據(jù):
5
≈2.236
,
6
≈2.449
,結(jié)果精確到0.001)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點A,B,點A的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點M在拋物線上,且△ABC與△ABM的面積相等,直接寫出點M的坐標(biāo);
(3)點Q是線段AB上的動點,過點Q作QE∥AC,交BC于點E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時,求點Q的坐標(biāo);
(4)若平行于x軸的動直線l與線段AC交于點F,點D的坐標(biāo)為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出直線l的解析式;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點,與y軸交于點C,且OA≠OB,OA=OC,設(shè)拋物線的頂點為點P,直線PC與x軸的交點D恰好與點A關(guān)于y軸對稱.
(1)求p、q的值.
(2)在題中的拋物線上是否存在這樣的點Q,使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)連接PA、AC.問:在直線PC上,是否存在這樣點E(不與點C重合),使得以P、A、E為頂點的三角形與△PAC相似?若存在,求出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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