Question

如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，將矩形沿著BD方向移動，設BB′=x．
（1）當x為多少時，才能使平移后的矩形與原矩形重疊部分的面積為24cm²？
（2）依次連接A′A，AC，CC′，C′A′，四邊形ACC′A′可能是菱形嗎？若可能，求出x的值；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使三角形B′ED的面積為24，可先用x表示出B′E，ED，然后根據三角形的面積公式列出關于x的方程，從而得出x的值，那么用x表示出B′E，ED是解題的關鍵，這點可以用三角形ABD和EB′D相似得出的線段間的比例來求得；
（2）根據矩形A′B′C′D′是有矩形ABCD平移后得出的，因此AA′CC′是個平行四邊形，要想使AA′CC′成為菱形，那么AA′=AC，也就是說，平移的距離應該等于AC的長，AC是矩形ABCD的對角線，AB=6，BC=8，那么AC=10，因此當BB′=10時，ACC′A′是菱形．
解答：解：（1）∵B′E∥AB，
∴△DB′E∽△DBA．
∴，
∴B′E=（10-x）．
同理：B′F=（10-x）．
∴（10-x）•（10-x）=24．
解得x=10±5．
∵x=10+5＞10，不符合題意，舍去，
∴x=10-5時，重疊部分的面積為24cm²．

（2）四邊形A′ACC′可能是菱形．
∵矩形ABCD沿BD平移后矩形A′B′C′D′，
∴AA′∥CC′，且AA′=CC′．
∴四邊形A′ACC′是平行四邊形．
∵AB∥A′B′，AB=A′B′，
∴四邊形ABB′A′是平行四邊形．
∴BB′=AA′．
∴當BB′=10時，AA′=AC=10，此時四邊形A′ACC′是菱形．
點評：本題主要考查了平移的性質，菱形的判定等知識點，本題中利用平移的性質得出線段的平行或相等關系是解題的關鍵．