Question

（北師大版）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的⊙O的半徑為

2

-1，直線a：y=-x-

2

與坐標(biāo)軸分別交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1），⊙B與X軸相切于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及∠CAO的度數(shù)；
（2）⊙B以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸負(fù)方向平移，同時(shí)，直線a繞點(diǎn)A順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)．當(dāng)⊙B第一次與⊙O相切時(shí)，直線a也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點(diǎn)A每秒旋轉(zhuǎn)多少度；
（3）如圖2，過A，O，C三點(diǎn)作⊙O₁，點(diǎn)E是劣弧

AO

上一點(diǎn)，連接EC，EA．EO，當(dāng)點(diǎn)E在劣弧

AO

上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A，O兩點(diǎn)重合），

EC-EA

EO

的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由

Answer 1

（1）令直線a：y=-x-

2

中，y=0求出x=-

2

，
∴A（-

2

，0），
令x=0求出y=-

2

，∴C（0，-

2

），
∴OA=OC，
∵OA⊥OC，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°；

（2）如圖，設(shè)⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，此時(shí)，直線α旋轉(zhuǎn)到α₁恰好與⊙B₁第一次相切于點(diǎn)P，⊙B₁與x軸相切于點(diǎn)N，
連接B₁O，B₁N，則MN=t，OB₁=

2

，
B₁N⊥AN，∴MN=3，即t=3．
連接B₁A，B₁P．則B₁P⊥AP，B₁P=B₁N．∴∠PAB₁=∠NAB₁
∵OA=OB₁=

2

，∴∠AB₁O=∠NAB₁∴∠PAB₁=∠AB₁O．∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，∴∠PAC=90°，即順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)270°，
∴直線AC繞點(diǎn)A平均每秒90°．

（3）

EC-EA

EO

的值不變，等于

2

，如圖
在CE上截取CK=EA，連接OK，
∵∠OAE=∠OCK，OA=OC，
∴△OAE≌△OCK，
∴OE=OK，∠EOA=∠KOC，
∴∠EOK=∠AOC=90°，
∴EK=

2

EO，∴

EC-EA

EO

=

2

．