Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸相交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸l與x軸的正半軸相交于點(diǎn)D，與拋物線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為E．
（1）當(dāng)a=-2，b=4，c=2時(shí)，判斷四邊形CDEF的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若四邊形CDEF是正方形，且AB=

2

，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a、b、c的值，可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可求出C、F、E點(diǎn)的坐標(biāo)，連接CE，交DF于P，即可得到CP、DP、EP、FP的長(zhǎng)，由此可證得CE、DF互相平分，由此可判定四邊形CDEF是平行四邊形；知道了CP、DP的長(zhǎng)，即可用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，同理可求出CF的長(zhǎng)，易證得CD=CF，由此可判定四邊形CDEF是菱形；（也可根據(jù)直線l是C、E的對(duì)稱軸，得到CF=EF，由此可判定平行四邊形CDEF是菱形）
（2）若四邊形CDEF是正方形，則OC=DP=CP=EP=PF=c，可據(jù)此表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用頂點(diǎn)式表示出該二次函數(shù)的解析式，將其化為一般式后，可得到兩個(gè)表示C點(diǎn)縱坐標(biāo)的式子，聯(lián)立兩式可求出a、c的關(guān)系式，由此可用a表示出該二次函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而可用a表示出A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)AB的長(zhǎng)即可求出a的值，從而確定二次函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）結(jié)論：四邊形CDEF是菱形（1分）．
∵直線l是拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)C、E關(guān)于l對(duì)稱，
∴F₂為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，
∵y=-2x²+4x+2=-2（x²-2x-1）=-2（x-1）²+4，
∴四邊形CDEF各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為C（0，2），D（1，0），F(xiàn)（1，4），E（2，2），
連接CE交直線于l于點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴CP=PE=1，DP=PF=2，
∴四邊形CDEF是平行四邊形（2分），
在Rt△COD中，CD=

OC2+OD2

=

5

，
在Rt△CPF中，CF=

CP2+PF2

=

5

，
∴CD=CF，
∴四邊形CDEF是菱形；（3分）

（2）（方法一）∵四邊形CDEF是正方形，
∴CP=DP=EP=FP=OC=c，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c，2c），（4分）
∴拋物線為y=a（x-c）²+2c=ax²-2acx+ac²+2c，（5分）
∴ac²+2c=c（6分），
∴ac=-1（∵c＞0），
即c=-

1

a

，（7分）
∴y=ax2+2x-

1

a

；（8分）
（方法二）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)F坐標(biāo)為（h，k），
則y=a（x-h）²+k=ax²-2ahx+ah²+k（4分），
∴c=ah²+k（5分），
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CP=DP=EP=FP=OC，
∴

k=2h k=2(ah2+k)

，（6分）
解得

h=- 1 a k=- 2 a

，（7分）
∴y=ax2+2x-

1

a

，（8分）
令ax2+2x-

1

a

=0，
得x=

-2± 4-4a×(- 1 a )

2a

=

-1± 2

a

，（9分）
由AB=

2

，a＜0，
得

-1- 2

a

-

-1+ 2

a

=

2

，
∴a=-2，（10分）
經(jīng)檢驗(yàn)，a=-2是原分式方程的解，（11分）
∴所求解析式為y=-2x2+2x+

1

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定、正方形的性質(zhì)以及二次函數(shù)解析式的確定，綜合性強(qiáng)，難度較大．