Question

如圖1，△ABC中，M是BC邊上中點(diǎn)，E、F分別在AB、AC上，且BE=CF，連接EF，點(diǎn)N是線段EF的中點(diǎn)，連接MN并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P．
（1）求證：∠BAC=2∠BPM；
（2）如圖2，當(dāng)∠A=60°，點(diǎn)F是AC邊中點(diǎn)時(shí)，探究線段PM與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明∠KMN=∠KNM（設(shè)為α）；證明∠QPA=∠BPM=α，∠A=∠Q+∠QPA=2α，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；證明MN=2MK=

3

λ；證明BE=2λ；證明PM=2MN，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，連接BF，取BF的中點(diǎn)K，連接KN、KM；延長(zhǎng)MP、CA，交于點(diǎn)Q；
∵M(jìn)、N分別是BC、EF的中點(diǎn)，
∴MK、NK分別是△BCF、△BEF的中位線，
∴BE=2NK，CF=2MK；而BE=CF，
∴MK=NK，∠KMN=∠KNM（設(shè)為α）；
∵KM∥AC，KN∥AB，
∴∠Q=∠KMN=α，∠KNM=∠BPM=α；
∴∠QPA=∠BPM=α，∠A=∠Q+∠QPA=2α，
∴∠BAC=2∠BPM．
（2）PM=

3

BE；
如圖2，連接MF、EC，交于點(diǎn)Q；連接QN；
過點(diǎn)Q作QK⊥MN于點(diǎn)K；
由（1）知：∠A=2∠BPM=60°，
∴∠BPM=30°；
∵M(jìn)、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，
∴MF∥AB，EQ=CQ；而EN=FN，
∴QN∥FC，F(xiàn)C=2QN；
BE∥MQ，BE=2QM；而BE=CF，
∴QM=QN（設(shè)為λ），∠QNM=∠QMN=∠BPM=30°；
∵QK⊥MN，且∠QNM=30°，
∴MK=NK=

3

2

λ，MN=2MK=

3

λ；
∵M(jìn)F∥PB，
∴

MN

PN

=

EN

FN

，而EN=FN，
∴MN=PN，PM=2MN=2

3

λ；而BE=2MQ=2λ，
∴PM=

3

BE．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了三角形的中位線定理及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形的中位線；對(duì)綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．