Question

在平面直角坐標系O中，過原點O及點A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D.點P從點O出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動.設移動時間為t秒.

（1）當點P移動到點D時，求出此時t的值；

（2）當t為何值時，△PQB為直角三角形；

（3）已知過O、P、Q三點的拋物線解析式為（）.問是否存在某一時刻t，將△PQB繞某點旋轉180°后，三個對應頂點恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

 解：（1）∵矩形OABC，  ∴∠AOC=∠OAB=90°

∵OD平分∠AOC      ∴∠AOD=∠DOQ=45°……………………………………1分   

∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°   ∴AO=AD=2， OD=  ……2分 

      ∴……………………………3分

（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.

解法1：如圖1，作PG⊥OC于點G，在Rt△POG中，

∵∠POQ =45°，∴ ∠OPG =45°  ∵OP=，∴OG=PG=t,  

∴點P(t，,t)  

又∵Q（2t，0），B（6，2），根據(jù)勾股定理可得:

 ，，………4分

①若∠PQB=90°，則有,                    

即：，

整理得：，解得（舍去），

∴                                          ………6分

②若∠PBQ=90°，則有,        

∴，      

整理得，解得.

∴當t=2或或時，△PQB為直角三角形. .… 8分

解法2：①如圖2，當∠PQB=90°時，

易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD ∴∠BQC=∠POQ=45° 

可得QC=BC=2   ∴OQ=4  ∴2t=4     ∴t=2 ……………5分

②如圖3，當∠PBQ=90°時，若點Q在OC上，

作PN⊥x軸于點N，交AB于點M，

則易證∠PBM=∠CBQ∴△PMB∽△QCB

∴，∴，∴，  化簡得，

解得      ……… 6分∴        ………………… 7分

③如圖4，當∠PBQ=90°時，若點Q在OC的延長線上，

作PN⊥x軸于點N，交AB延長線于點M，

則易證∠BPM=∠MBQ=∠BQC   ∴△PMB∽△QCB

∴，∴，

∴，化簡得，

解得    ∴ ……………… 8分

（3）存在這樣的t值，理由如下：將△PQB繞某點旋轉180°，三個對應頂點恰好都落在拋物線上，則旋轉中心為PQ中點，此時四邊形為平行四邊形.                                    ………………9分

∵PO=PQ ，由P（t,t），Q（2t，0），知旋轉中心坐標可表示為（）………………10分

∵點B坐標為（6,2），  ∴點的坐標為（3t-6,t-2），                 .………………11分

代入，得： ，解得        ……12分

（另解：第二種情況也可以直接由下面方法求解：當點P與點D重合時，PB=4，OQ=4，又PB ∥OQ，∴四邊形為平行四邊形，此時繞PQ中點旋轉180°，點B的對應點恰好落在O處，點即點O.由（1）知，此時t=2.    （說明：解得此t值，可得2分.）