Question

（2012•蘄春縣模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AE是直徑，AD是高交⊙O于F，連接BE、CF，下列結(jié)論正確的有幾個(gè)？（　�。�
①BE=CF；②AB•AC=AD•AE；③AD•DF=BD•CD；④AD²+BD²+FD²+CD²=AE²．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：由△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AE是直徑，AD是高，易證得△ABE∽△ADC，△ABD∽△CFD，然后由相似三角形的性質(zhì)，證得①②③正確，又由勾股定理，即可證得④正確．

解答：解：∵AE是直徑，
∴∠ABE=90°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠BAE=∠CAF，AB：AD=AE：AC，
∴

BE

=

CF

，AB•AC=AD•AE；
∴BE=CF，
故①②正確；
∵∠ABC=∠AFC，∠BAF=∠BCF，
∴△ABD∽△CFD，
∴AD：CD=BD：DF，
∴AD•DF=BD•CD；
故③正確；
∵在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，
在Rt△CDF中，F(xiàn)D²+CD²=CF²，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
∵BE=CF，
∴AD²+BD²+FD²+CD²=AE²．
故④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．