Question

如圖，已知：⊙O的直徑AB與弦AC的夾角∠A=30°，AC=CP．
（1）求證：CP是⊙O的切線；
（2）若PC=6，AB=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OC，如圖，由∠A=30°，AC=CP得到∠P=∠A=30°，加上∠OCA=∠A=30°，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠POC=∠A+∠OCA=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠PCO=90°，則OC⊥PC，然后根據(jù)切線的判定定理得到PC是⊙O的切線；
（2）利用S_影陰部分=S_△POC-S_扇形BOC和扇形的面積公式計(jì)算．

解答：解：（1）連結(jié)OC，如圖，
∵∠A=30°，AC=CP，
∴∠P=∠A=30°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠POC=∠A+∠OCA=60°，
∴∠PCO=180°-∠P-∠POC=90°
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切線；
（2）∵AB=4，
∴OC=2，
∴S_影陰部分=S_△POC-S_扇形BOC
=

1

2

•2•6-

60•π•22

360

=6-

2

3

π．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了扇形面積的計(jì)算．