Question

如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始以1cm/s的速度沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B以2cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求△PBQ的面積；

（2）當(dāng)t=時(shí)，試說(shuō)明△DPQ是直角三角形；

（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)3s時(shí)，P點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)以原速立即向B點(diǎn)返回，在返回的過(guò)程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）8  （2）見(jiàn)解析  （3）5.625s

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=t=2，BQ=2t=4，

∴BP=AB﹣AP=4，

∴△PBQ的面積=×4×4=8；

（2）當(dāng)t=時(shí)，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，

∴DP²=AD²+AP²=2.25+144=146.25，PQ²=PB²+BQ²=29.25，DQ²=CD²+CQ²=117，

∵PQ²+DQ²=DP²，

∴∠DQP=90°，

∴△DPQ是直角三角形．

（3）設(shè)存在點(diǎn)Q在BC上，延長(zhǎng)DQ與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O．

設(shè)QB的長(zhǎng)度為x，則QC的長(zhǎng)度為（12﹣x），

∵DC∥BO，

∴∠C=∠QBO，∠CDP=∠O，

∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12﹣x，

∴=，即=，

解得：BO=，

∴AO=AB+BO=6+=，

∴DO=，PO=，

∵∠ADP=∠ODP，

∴12：DO=AP：PO，

代入解得x=0.75，

∴DP能平分∠ADQ，

∵點(diǎn)Q的速度為2cm/s，

∴P停止后Q往B走的路程為（6﹣0.75）=5.25cm．

∴時(shí)間為2.625s，加上剛開(kāi)始的3s，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5.625s．

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)．

點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：直角三角形的面積等于兩直角邊積的一半；若三角形的三邊a，b，c符合a²+b²=c²，

那么∠C=90°；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例；三角形的角平分線分對(duì)邊的比等于另兩邊之比．