Question

（2013•黃埔區(qū)一模）如圖，Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉(zhuǎn)而成，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（1，4）．
（1）寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并利用尺規(guī)作圖直接在圖中作出旋轉(zhuǎn)中心Q（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將△ADE沿垂直于x軸的線段PT折疊，（點(diǎn)T在x軸上，點(diǎn)P在AE上，P與A、E不重合）如圖，使點(diǎn)A落在x軸上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，0），△PTF與△ADE重疊部分的面積為S．
①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量x的取值范圍）；
②當(dāng)x為何值時(shí)，S的面積最大？最大值是多少？
③是否存在這樣的點(diǎn)T，使得△PEF為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)有理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，可知△ABC≌△DEA，則AB=DE=2，AC=DA=4，由此求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等可知旋轉(zhuǎn)中心Q既在線段AD的垂直平分線上，又在線段BE的垂直平分線上，為此，作出線段AD與線段BE的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為Q；
（2）設(shè)直線AE的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出；
（3）①分兩種情況：（i）當(dāng)點(diǎn)F在AD之間時(shí)，1＜x≤3，重疊部分是△PTF，由S_△PTF=

1

2

TF•PT=

1

2

AT•PT，可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（ii）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的右邊時(shí)，3＜x＜5，重疊部分是梯形PTDH，由S_梯形PTDH=

1

2

（PT+HD）•TD，可求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②分兩種情況：（i）1＜x≤3；（ii）3＜x＜5，由①中所求的S與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合自變量的取值范圍，即可求解；
③由于tan∠EAD=

1

2

，所以∠EAD≠45°，∠APT≠45°，∠APF≠90°，則∠EPF≠90°，當(dāng)△PEF為直角三角形時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：（i）當(dāng)△PFE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，作EF⊥AE交x軸于F，由△AED∽△EFD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的邊相等列出比例式，即可求解；（ii）當(dāng)△P′F′E以點(diǎn)F′為直角頂點(diǎn)時(shí)，由△AED∽△EF′D，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的邊相等列出比例式，即可求解．

解答：解：（1）∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉(zhuǎn)而成，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是E，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是D，
∴△ADE≌△CAB，
∴AD=CA=4，DE=AB=2，
∴OD=OA+AD=1+4=5，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）．
連接BE，作出線段AD與線段BE的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為Q；                

（2）設(shè)直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
∵A（1，0），E（5，2），
∴

k+b=0 5k+b=2

，解得

k= 1 2 b=- 1 2

，
∴直線AE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x-

1

2

；

（3）①分兩種情況：
（i）當(dāng)點(diǎn)F在AD之間時(shí)，重疊部分是△PTF，如圖．
∵點(diǎn)P在AE：y=

1

2

x-

1

2

上，PT⊥x軸，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，0），
∴PT=

1

2

x-

1

2

．
∵OT=x，OA=1，
∴AT=OT-OA=x-1，
∴TF=AT=x-1．
∵S_△PTF=

1

2

TF•PT=

1

2

AT•PT=

1

2

（x-1）•（

1

2

x-

1

2

）=

1

4

（x-1）²，
∴S=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

．
∵當(dāng)F與D重合時(shí)，AT=

1

2

AD=2，
∴1＜x≤3；
（ii）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的右邊時(shí)，重疊部分是梯形PTDH．
∵∠DFH=∠DAE，∠FDH=∠ADE=90°，
∴△FDH∽△ADE，
∴

HD

DF

=

ED

AD

=

1

2

，
∴HD=

1

2

DF=

1

2

[2（x-1）-4]=x-3，
∴S_梯形PTDH=

1

2

（PT+HD）•TD=

1

2

（

1

2

x-

1

2

+x-3）•（5-x）=-

3

4

x²+

11

2

x-

35

4

，
當(dāng)T與D重合時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)是（9，0），
∴3＜x＜5．
綜上所述，S=

1 4 x2- 1 2 x+ 1 4  (0＜x≤3) - 3 4 x2+ 11 2 x- 35 4  (3＜x＜5)

；

②（i）當(dāng)1＜x≤3時(shí)，∵S=

1

4

（x-1）²，
∴S隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=3時(shí)，S有取大值，且最大值是S=

1

4

（3-1）²=1；
（ii）當(dāng)3＜x＜5時(shí)，∵S=-

3

4

x²+

11

2

x-

35

4

=-

3

4

（x-

11

3

）²+

4

3

，
∴當(dāng)x=

11

3

時(shí)，S有最大值，且最大值是

4

3

；
綜上所述，當(dāng)x=

11

3

時(shí)，S有最大值，且最大值是S=

4

3

；

③存在這樣的點(diǎn)T（

7

2

，0）和（

5

2

，0），能夠使得△PEF為直角三角形．
分兩種情況：
（i）當(dāng)△PFE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，作EF⊥AE交x軸于F．
∵△AED∽△EFD，
∴

DF

ED

=

ED

AD

=

1

2

，
∴DF=

1

2

DE=1，
∴點(diǎn)F（6，0），
∴點(diǎn)T（

7

2

，0）；
（ii）當(dāng)△P′F′E以點(diǎn)F′為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖．
∵△AED∽△EF′D，
∴

DF′

DE

=

DE

AD

=

1

2

，
∴DF′=

1

2

DE=1，
∴點(diǎn)F′（4，0），
∴點(diǎn)T（

5

2

，0）．
綜上（i）、（ii）知，滿足條件的點(diǎn)T坐標(biāo)為（

7

2

，0）和（

5

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的畫法，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，圖形面積的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．