Question

已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，若以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
（1）求經(jīng)過點O，C，A三點的拋物線的解析式．
（2）求拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標(biāo)．
（3）線段OB與拋物線交與點E，點P為線段OE上一動點（點P不與點O，點E重合），過P點作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：在線段OE上是否存在這樣的點P，使得PD=CM？若存在，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△AOB中，根據(jù)AO的長和∠BOA的度數(shù)，可求得OB的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，過C作CD⊥x軸于D，即可根據(jù)∠COD的度數(shù)和OC的長求得CD、OD的值，從而求出點C、A的坐標(biāo)，將A、C、O的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）求出直線BO的解析式，進而利用x=求出y的值，即可得出D點坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（1）所得拋物線的解析式可得到其頂點的坐標(biāo)（即C點），設(shè)直線MP與x軸的交點為N，且PN=t，在Rt△OPN中，根據(jù)∠PON的度數(shù)，易得PN、ON的長，即可得到點P的坐標(biāo)，然后根據(jù)點P的橫坐標(biāo)和拋物線的解析式可求得M點的縱坐標(biāo)，過M作MF⊥CD（即拋物線對稱軸）于F，過P作PQ⊥CD于Q，若PD=CM，那么CF=QD，根據(jù)C、M、P、D四點縱坐標(biāo)，易求得CF、QD的長，聯(lián)立兩式即可求出此時t的值，從而求得點P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=，
∴OB==4，AB=2；
由折疊的性質(zhì)知：∠COB=30°，OC=AO=2，
∴∠COH=60°，OH=，CH=3；
∴C點坐標(biāo)為（，3）．
∵O點坐標(biāo)為：（0，0），
∴拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），
∵圖象經(jīng)過C（，3）、A（2，0）兩點，
∴，
解得；
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2x．

（2）∵AO=2，AB=2，
∴B點坐標(biāo)為：（2，2），
∴設(shè)直線BO的解析式為：y=kx，
則2=2k，
解得：k=，
∴y=x，
∵y=-x²+2x的對稱軸為直線x=-=-=，
∴將兩函數(shù)聯(lián)立得出：y=×=1，
∴拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標(biāo)為：（，1）；

（3）存在．
∵y=-x²+2x的頂點坐標(biāo)為（，3），
即為點C，MP⊥x軸，垂足為N，設(shè)PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=t，
∴P（t，t）；
作PQ⊥CD，垂足為Q，MF⊥CD，垂足為F；
把x=t代入y=-x²+2x，
得y=-3t²+6t，
∴M（t，-3t²+6t），F(xiàn)（，-3t²+6t），
同理：Q（，t），D（，1）；
要使PD=CM，只需CF=QD，
即3-（-3t²+6t）=|t-1|，
解得t=，t=1（舍），t=，
∴P點坐標(biāo)為（，），或（，），
∴存在滿足條件的P點，使得PD=CM，此時P點坐標(biāo)為（，）或（，）．
點評：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定等重要知識點，表示出P點坐標(biāo)利用CF=QD求出是解題關(guān)鍵．