已知AB為半圓O的直徑,點(diǎn)P為直徑AB上的任意一點(diǎn).以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑作⊙A,⊙A與半圓O相交于點(diǎn)C;以點(diǎn)B為圓心,BP為半徑作⊙B,⊙B與半圓O相交于點(diǎn)D,且線段CD的中點(diǎn)為M.求證:MP分別與⊙A和⊙B相切.

【答案】分析:要證MP分別與⊙A和⊙B相切,如圖示,連接AC,AD,BC,BD,并且分別過點(diǎn)C,D作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別為E,F(xiàn)則CE∥DF.因?yàn)锳B是⊙O的直徑,所以∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC和Rt△ABD中,由射影定理得PA2=AC2=AE•AB,PB2=BD2=BF•AB.兩式相減可得PA2-PB2=AB(AE-BF),又PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),于是有AE-BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,所以PE=PF,也就是說,點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn).因此,MP是直角梯形CDEF的中位線,于是得MP⊥AB,進(jìn)而可得MP分別與⊙A和⊙B相切.
解答:證明:如圖,連接AC,AD,BC,BD,并且分別過點(diǎn)C,D作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別為E,F(xiàn)
∴CE∥DF,∠AEC=90°,∠BFD=90°.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角,
∴△ACB∽△AEC,
∴AC:AB=AE:AC
即PA2=AC2=AE•AB,
同理PB2=BD2=BF•AB.
兩式相減可得PA2-PB2=AB(AE-BF),
∴PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),
∴AE-BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,
∴PE=PF,
∴點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn).
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn),
∴MP是直角梯形CDEF的中位線,
∴MP⊥AB,
∴MP分別與⊙A和⊙B相切.
點(diǎn)評(píng):這道題考查了相切兩圓的性質(zhì)和射影定理的應(yīng)用,以及中位線的知識(shí),同學(xué)們應(yīng)熟練掌握.
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如圖是某學(xué)校田徑體育場(chǎng)一部分的示意圖,第一條跑道每圈為400米,跑道分直道和彎道,直道為長(zhǎng)相等的平行線段,彎道為同心的半圓型,彎道與直道相連接,已知直精英家教網(wǎng)道BC的長(zhǎng)86.96米,跑道的寬為l米.(π=3.14,結(jié)果精確到0.01)
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AB
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如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分別以AC、BC為直經(jīng)作半圓,面積分別記為S1、S2,則S1+S2的值等于


  1. A.
    8πB
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    16π
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如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,分別以AC、BC為直經(jīng)作半圓,面積分別記為S1、S2,則S1+S2的值等于( )

A.8πB
B.16π
C.25π
D.12.5π

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