Question

如圖，已知直線y=-m（x-4）（m＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以OA為直徑作半圓，圓心為C．過A作x軸的垂線AT，M是線段OB上一動點（與O點不重合），過M點作半圓的切線交直線AT于N，交AB于F，切點為P．連接CN、CM．
（1）證明：∠MCN=90°；
（2）設OM=x，AN=y，求y關于x的函數(shù)解析式；
（3）若OM=1，當m為何值時，直線AB恰好平分梯形OMNA的面積．

Answer 1

證明：（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直徑，
∴AT、OM是⊙C的切線，
又∵MN切⊙C于點P，
∴∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM，
∵OM∥AN，
∴∠ANM+∠OMN=180°，
∴∠CMN+∠CNM=∠OMN+∠ANM=（∠OMN+∠ANM）=90°，
∴∠MCN=90°；

解：（2）由（1）可知：∠1+∠2=90°，而∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3；
∴Rt△MOC∽Rt△CAN，
∴=，
∵直線y=-m（x-4）交x軸于點A，交y軸于點B，
∴0=-m（x-4），
∴x=4，
∴A（4，0），
∴AC=CO=2，
∵OM=x，AN=y，
∵=，
∴y=；

（3）
∵OM=1，
∴AN=y=4，此時S_{四邊形ANMO}=10，
∵直線AB平分梯形ANMO的面積，
∴△ANF的面積為5過點F作FG⊥AN于G，則FG•AN=5，
∴FG=，
∴點F的橫坐標為4-=，
∵M（0，1），N（4，4），
∴直線MN的解析式為y=x+1，
∵F點在直線MN上，
∴F點的縱坐標為y=，
∴F（，），
∵點F又在直線y=-m（x-4）上，
∴=-m（-4），
∴m=．
分析：（1）如圖推出AT，OM是⊙C的切線．得出∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM，根據(jù)∠CMN+∠CNM=90°，求出∠MCN；
（2）由1推出∠1=∠3，證明Rt△MOC∽Rt△CAN，利用線段比求出點A的坐標，從而求出y關于x的函數(shù)解析式；
（3）因為直線AB平分梯形ANMO的面積推出FG的長．求出直線MN的解析式后因為點F在直線MN上，易求點F的坐標．然后又因為點F在直線y=-m（x-4）求出m值．
點評：本題考查的是一次函數(shù)的綜合應用以及三角形的面積計算公式，難度中等．