Question

如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD與BC相交于點(diǎn)E，AE=

1

2

ED，延長(zhǎng)DB到點(diǎn)F，使FB=

1

2

BD，連接AF．
（1）證明：△BDE∽△FDA；
（2）連接OA，求證：OA⊥BC；
（3）試判斷直線AF與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得出

BD

FD

=

ED

AD

，∠ADB=∠ADF，根據(jù)一個(gè)角相等，夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例從而得出△BDE∽△FDA；
（2）連接OA，OB，OC，由AB=AC，得出∠OAB=∠OAC，又OB=OC，從而得出AO⊥BC即可；
（3）直線AF與⊙O相切．由△BDE∽△FDA，得出∠EBD=∠AFD，可得出BE∥FA，根據(jù)AO⊥BE，可得出AO⊥FA，即直線FA與⊙O相切．

解答：證明：（1）在△BDE和△FDA中，
∵FB=

1

2

BD，AE=

1

2

ED，∴

BD

FD

=

ED

AD

=

2

3

…（2分）
又∵∠BDE=∠FDA
∴△BDE∽△FDA …（5分）
（2）連接OA，并連接OB和OC，如下圖所示，

∵AB=AC，OA=OA，OB=OC，
∴△OAB≌△OAC，
∴∠OAB=∠OAC．…（6分）
又∵OB=OC
∴AO⊥BC…（7分）

（3）直線AF與⊙O相切．  …（8分）
由△BDE∽△FDA，那么∠EBD=∠AFD．
∴BE∥FA…（9分）
由AO⊥BE知，AO⊥FA，
∴直線FA與⊙O相切．…（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及切線的判定，是中考?jí)狠S題，但難度不大．