Question

已知關(guān)于x的方程（m-2）x²+2x+1=0   ①
（1）若方程①有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍？
（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=（m-2）x²+2x+1的圖象與線(xiàn)段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)若方程為一元一次方程，求出m的值即可，再根據(jù)若方程為一元二次方程，利用根的判別式求出即可；
（2）分別從當(dāng)m-2=0，以及當(dāng)m-2≠0時(shí)分析，得出若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，以及若方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，利用根的判別式以及方程的根得出答案．

解答：解：（1）若方程為一元一次方程，則m-2=0，即m=2，
若方程為一元二次方程，則m-2≠0，
∵關(guān)于x的方程（m-2）x²+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，
又∵a=m-2，b=2，c=1，
∴b²-4ac=2²-4（m-2）≥0，
解得：m≤3，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m≤3且m≠2，
綜上所述，m≤3；

（2）設(shè)方程①所對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為y=f（x）=（m-2）x²+2x+1，
①當(dāng)m-2=0，即m=2時(shí)，y=f（x）=（m-2）x²+2x+1，
即為y=2x+1，
y=0，x=-

1

2

，即此時(shí)函數(shù)y=2x+1的圖象與線(xiàn)段AB沒(méi)有交點(diǎn)，
②當(dāng)m-2≠0，即m≠2，函數(shù)為二次函數(shù)，依題意有，
a．若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，
此時(shí)二次函數(shù)與x軸兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)y=（m-2）x²+2x+1的圖象與線(xiàn)段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，
得出x=1和2時(shí)對(duì)應(yīng)y的值異號(hào)，
則f（1）•f（2）＜0，
∴（m+1）（4m-3）＜0  即-1＜m＜

3

4

，
當(dāng)f（1）=0時(shí)，m=-1，
方程為3x²-2x-1=0，其根為x₁=1，x₂=-

1

3

，
當(dāng)f（2）=0時(shí)，m=

3

4

，
方程為3x²-8x+4=0，其根為x₁=

8+ 110

6

x₂=

8- 110

6

，
∴-1≤m＜

3

4

，
b．若方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，
則△=4-4（m-2）=0，m=3，方程為x²+2x+1=0，其根為 x₁=x₂=-1，
此時(shí)二次函數(shù)與線(xiàn)段AB無(wú)交點(diǎn)，
綜上所述，方程①所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象與線(xiàn)段AB只有一個(gè)交點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是：-1≤m＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根的判別式以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知進(jìn)行分類(lèi)討論，注意不要漏解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．